{l}{x=3y+4}{y=1/2x-8/3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y + 4 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 8 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=8$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-3y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$x=3y+4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 3y+4 चा विकल्प वापरा, -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}.

$$-\frac{1}{2}\left(3y+4\right)+y=-\frac{8}{3}$$

3y+4 ला -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{2}y-2+y=-\frac{8}{3}$$

-\frac{3y}{2} ते y जोडा.

$$-\frac{1}{2}y-2=-\frac{8}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{2}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने गुणाकार करा.

$$y=\frac{4}{3}$$

x=3y+4 मध्ये y साठी \frac{4}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=3\times \frac{4}{3}+4$$

\frac{4}{3} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=4+4$$

4 ते 4 जोडा.

$$x=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-6\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-6\left(-\frac{8}{3}\right)\\-4-2\left(-\frac{8}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$x-3y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून \frac{1}{2}x वजा करा.

$$y-\frac{1}{2}x=-\frac{8}{3}$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-3y=4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

x आणि -\frac{x}{2} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -\frac{1}{2} ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\left(-3\right)y=-\frac{1}{2}\times 4,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

सरलीकृत करा.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2,-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3}$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=-2 मधून -\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} वजा करा.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

-\frac{x}{2} ते \frac{x}{2} जोडा. -\frac{x}{2} आणि \frac{x}{2} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\frac{3}{2}y-y=-2+\frac{8}{3}$$

\frac{3y}{2} ते -y जोडा.

$$\frac{1}{2}y=-2+\frac{8}{3}$$

-2 ते \frac{8}{3} जोडा.

$$\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$y=\frac{4}{3}$$

-\frac{1}{2}x+y=-\frac{8}{3} मध्ये y साठी \frac{4}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{4}{3} वजा करा.

$$-\frac{1}{2}x=-4$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने गुणाकार करा.

$$x=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=8,y=\frac{4}{3}$$