{l}{x+y=36}{5/7=x/y} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=15$$

$$y=21$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 7y ने गुणाकार करा, 7,y चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5y=7x$$

दोन्ही बाजूंकडून 7x वजा करा.

$$5y-7x=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+y=36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$x=-y+36$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+36 चा विकल्प वापरा, -7x+5y=0.

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

-y+36 ला -7 वेळा गुणाकार करा.

$$7y-252+5y=0$$

7y ते 5y जोडा.

$$12y-252=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 252 जोडा.

$$12y=252$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$y=21$$

x=-y+36 मध्ये y साठी 21 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-21+36$$

36 ते -21 जोडा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=21$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 7y ने गुणाकार करा, 7,y चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5y=7x$$

दोन्ही बाजूंकडून 7x वजा करा.

$$5y-7x=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=15,y=21$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित नसल्याने चल y हे 0 च्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 7y ने गुणाकार करा, 7,y चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$5y=7x$$

दोन्ही बाजूंकडून 7x वजा करा.

$$5y-7x=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

x आणि -7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

सरलीकृत करा.

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -7x-7y=-252 मधून -7x+5y=0 वजा करा.

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

-7x ते 7x जोडा. -7x आणि 7x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-7y-5y=-252$$

-7y ते -5y जोडा.

$$-12y=-252$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$y=21$$

-7x+5y=0 मध्ये y साठी 21 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-7x+5\times 21=0$$

21 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-7x+105=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 105 वजा करा.

$$-7x=-105$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$x=15$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=15,y=21$$