{l}{x+my=a}{x-ny=b} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+my=a$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून my वजा करा.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी a-my चा विकल्प वापरा, x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

-my ते -ny जोडा.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून a वजा करा.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

दोन्ही बाजूंना -m-n ने विभागा.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

x=\left(-m\right)y+a मध्ये y साठी -\frac{b-a}{m+n} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

-\frac{b-a}{m+n} ला -m वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

a ते \frac{m\left(b-a\right)}{m+n} जोडा.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून x+my=a मधून x+\left(-n\right)y=b वजा करा.

$$x-x+my+ny=a-b$$

x ते -x जोडा. x आणि -x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$my+ny=a-b$$

my ते ny जोडा.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

दोन्ही बाजूंना m+n ने विभागा.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

x+\left(-n\right)y=b मध्ये y साठी \frac{a-b}{m+n} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

\frac{a-b}{m+n} ला -n वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} जोडा.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$