{l}{x+3y=-1}{5x-6y=16} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = - 1 } \\ { 5 x - 6 y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+3y=-1,5x-6y=16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+3y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$x=-3y-1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -3y-1 चा विकल्प वापरा, 5x-6y=16.

$$5\left(-3y-1\right)-6y=16$$

-3y-1 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-15y-5-6y=16$$

-15y ते -6y जोडा.

$$-21y-5=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$-21y=21$$

दोन्ही बाजूंना -21 ने विभागा.

$$y=-1$$

x=-3y-1 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-3\left(-1\right)-1$$

-1 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=3-1$$

-1 ते 3 जोडा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+3y=-1,5x-6y=16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&3\\5&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-3\times 5}&-\frac{3}{-6-3\times 5}\\-\frac{5}{-6-3\times 5}&\frac{1}{-6-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{5}{21}&-\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{1}{7}\times 16\\\frac{5}{21}\left(-1\right)-\frac{1}{21}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+3y=-1,5x-6y=16$$

x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$5x+5\times 3y=5\left(-1\right),5x-6y=16$$

सरलीकृत करा.

$$5x+15y=-5,5x-6y=16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x+15y=-5 मधून 5x-6y=16 वजा करा.

$$5x-5x+15y+6y=-5-16$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$15y+6y=-5-16$$

15y ते 6y जोडा.

$$21y=-5-16$$

-5 ते -16 जोडा.

$$21y=-21$$

दोन्ही बाजूंना 21 ने विभागा.

$$y=-1$$

5x-6y=16 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x-6\left(-1\right)=16$$

-1 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$5x+6=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$5x=10$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-1$$