{l}{x+2y=-2}{4y=1-3x} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 2 } \\ { 4 y = 1 - 3 x } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3x जोडा.

$$4y+3x=1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+2y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$x=-2y-2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -2y-2 चा विकल्प वापरा, 3x+4y=1.

$$3\left(-2y-2\right)+4y=1$$

-2y-2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-6y-6+4y=1$$

-6y ते 4y जोडा.

$$-2y-6=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$-2y=7$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=-\frac{7}{2}$$

x=-2y-2 मध्ये y साठी -\frac{7}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-2\left(-\frac{7}{2}\right)-2$$

-\frac{7}{2} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=7-2$$

-2 ते 7 जोडा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3x जोडा.

$$4y+3x=1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 3}&-\frac{2}{4-2\times 3}\\-\frac{3}{4-2\times 3}&\frac{1}{4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+1\\\frac{3}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 3x जोडा.

$$4y+3x=1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+2y=-2,3x+4y=1$$

x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$3x+3\times 2y=3\left(-2\right),3x+4y=1$$

सरलीकृत करा.

$$3x+6y=-6,3x+4y=1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x+6y=-6 मधून 3x+4y=1 वजा करा.

$$3x-3x+6y-4y=-6-1$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-4y=-6-1$$

6y ते -4y जोडा.

$$2y=-6-1$$

-6 ते -1 जोडा.

$$2y=-7$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=-\frac{7}{2}$$

3x+4y=1 मध्ये y साठी -\frac{7}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+4\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

-\frac{7}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-14=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 14 जोडा.

$$3x=15$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=-\frac{7}{2}$$