{l}{rx-ry=1}{rx-9y=r} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { r x - r y = 1 } \\ { r x - 9 y = r } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

$$y=-\frac{1-r}{r-9}$$

$$r\neq 9\text{ and }r\neq 0$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$rx+\left(-r\right)y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस ry जोडा.

$$rx=ry+1$$

दोन्ही बाजूंना r ने विभागा.

$$x=\frac{1}{r}\left(ry+1\right)$$

ry+1 ला \frac{1}{r} वेळा गुणाकार करा.

$$x=y+\frac{1}{r}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी y+\frac{1}{r} चा विकल्प वापरा, rx-9y=r.

$$r\left(y+\frac{1}{r}\right)-9y=r$$

y+\frac{1}{r} ला r वेळा गुणाकार करा.

$$ry+1-9y=r$$

ry ते -9y जोडा.

$$\left(r-9\right)y+1=r$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1 वजा करा.

$$\left(r-9\right)y=r-1$$

दोन्ही बाजूंना r-9 ने विभागा.

$$y=\frac{r-1}{r-9}$$

x=y+\frac{1}{r} मध्ये y साठी \frac{r-1}{r-9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{r-1}{r-9}+\frac{1}{r}$$

\frac{1}{r} ते \frac{r-1}{r-9} जोडा.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}r&-r\\r&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&-\frac{-r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\\-\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}&\frac{r}{r\left(-9\right)-\left(-r\right)r}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}&\frac{1}{r-9}\\-\frac{1}{r-9}&\frac{1}{r-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\r\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{r\left(r-9\right)}+\frac{1}{r-9}r\\-\frac{1}{r-9}+\frac{1}{r-9}r\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)}\\\frac{r-1}{r-9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{r^{2}-9}{r\left(r-9\right)},y=\frac{r-1}{r-9}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$rx+\left(-r\right)y=1,rx-9y=r$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून rx+\left(-r\right)y=1 मधून rx-9y=r वजा करा.

$$rx+\left(-r\right)x+\left(-r\right)y+9y=1-r$$

rx ते -rx जोडा. rx आणि -rx रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(-r\right)y+9y=1-r$$

-ry ते 9y जोडा.

$$\left(9-r\right)y=1-r$$

दोन्ही बाजूंना -r+9 ने विभागा.

$$y=\frac{1-r}{9-r}$$

rx-9y=r मध्ये y साठी \frac{1-r}{-r+9} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$rx-9\times \frac{1-r}{9-r}=r$$

\frac{1-r}{-r+9} ला -9 वेळा गुणाकार करा.

$$rx-\frac{9\left(1-r\right)}{9-r}=r$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{9\left(1-r\right)}{-r+9} जोडा.

$$rx=-\frac{\left(r-3\right)\left(r+3\right)}{9-r}$$

दोन्ही बाजूंना r ने विभागा.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{r^{2}-9}{r\left(9-r\right)},y=\frac{1-r}{9-r}$$