{l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस by जोडा.

$$ax=by-8$$

दोन्ही बाजूंना a ने विभागा.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

by-8 ला \frac{1}{a} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{by-8}{a} चा विकल्प वापरा, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

\frac{by-8}{a} ला b वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

\frac{b^{2}y}{a} ते ay जोडा.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

-\frac{8b}{a} ते 1 जोडा.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{a-8b}{a} वजा करा.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

दोन्ही बाजूंना a+\frac{b^{2}}{a} ने विभागा.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} मध्ये y साठी \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} ला \frac{b}{a} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

-\frac{8}{a} ते \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} जोडा.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax आणि bx समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना b ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना a ने गुणाकार करा.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

सरलीकृत करा.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 मधून abx+a^{2}y+a=0 वजा करा.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

bax ते -bax जोडा. bax आणि -bax रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-b^{2}y ते -a^{2}y जोडा.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8b-a वजा करा.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

दोन्ही बाजूंना -b^{2}-a^{2} ने विभागा.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0 मध्ये y साठी -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} ला a वेळा गुणाकार करा.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

-\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ते 1 जोडा.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} वजा करा.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

दोन्ही बाजूंना b ने विभागा.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस by जोडा.

$$ax=by-8$$

दोन्ही बाजूंना a ने विभागा.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

by-8 ला \frac{1}{a} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{by-8}{a} चा विकल्प वापरा, bx+ay+1=0.

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

\frac{by-8}{a} ला b वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

\frac{b^{2}y}{a} ते ay जोडा.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

-\frac{8b}{a} ते 1 जोडा.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{a-8b}{a} वजा करा.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

दोन्ही बाजूंना a+\frac{b^{2}}{a} ने विभागा.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} मध्ये y साठी \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} ला \frac{b}{a} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

-\frac{8}{a} ते \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} जोडा.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax आणि bx समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना b ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना a ने गुणाकार करा.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

सरलीकृत करा.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 मधून abx+a^{2}y+a=0 वजा करा.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

bax ते -bax जोडा. bax आणि -bax रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-b^{2}y ते -a^{2}y जोडा.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8b-a वजा करा.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

दोन्ही बाजूंना -b^{2}-a^{2} ने विभागा.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0 मध्ये y साठी -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

-\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} ला a वेळा गुणाकार करा.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

-\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ते 1 जोडा.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} वजा करा.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

दोन्ही बाजूंना b ने विभागा.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$