{l}{9m-2n=3}{4n+m=-1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 2 n = 3 } \\ { 4 n + m = - 1 } \end{array} \right.$$

m, n साठी सोडवा

$$m=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

$$n=-\frac{6}{19}\approx -0.315789474$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला m विलग करून, m साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$9m-2n=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2n जोडा.

$$9m=2n+3$$

दोन्ही बाजूंना 9 ने विभागा.

$$m=\frac{1}{9}\left(2n+3\right)$$

2n+3 ला \frac{1}{9} वेळा गुणाकार करा.

$$m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये m साठी \frac{2n}{9}+\frac{1}{3} चा विकल्प वापरा, m+4n=-1.

$$\frac{2}{9}n+\frac{1}{3}+4n=-1$$

\frac{2n}{9} ते 4n जोडा.

$$\frac{38}{9}n+\frac{1}{3}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{3} वजा करा.

$$\frac{38}{9}n=-\frac{4}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{38}{9} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$n=-\frac{6}{19}$$

m=\frac{2}{9}n+\frac{1}{3} मध्ये n साठी -\frac{6}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m=\frac{2}{9}\left(-\frac{6}{19}\right)+\frac{1}{3}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{6}{19} चा \frac{2}{9} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$m=-\frac{4}{57}+\frac{1}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{3} ते -\frac{4}{57} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$m=\frac{5}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{9\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{9\times 4-\left(-2\right)}&\frac{9}{9\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{1}{38}&\frac{9}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 3+\frac{1}{19}\left(-1\right)\\-\frac{1}{38}\times 3+\frac{9}{38}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\\-\frac{6}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे m आणि n घटक बाहेर काढा.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$9m-2n=3,m+4n=-1$$

9m आणि m समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 9 ने गुणाकार करा.

$$9m-2n=3,9m+9\times 4n=9\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$9m-2n=3,9m+36n=-9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 9m-2n=3 मधून 9m+36n=-9 वजा करा.

$$9m-9m-2n-36n=3+9$$

9m ते -9m जोडा. 9m आणि -9m रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2n-36n=3+9$$

-2n ते -36n जोडा.

$$-38n=3+9$$

3 ते 9 जोडा.

$$-38n=12$$

दोन्ही बाजूंना -38 ने विभागा.

$$n=-\frac{6}{19}$$

m+4n=-1 मध्ये n साठी -\frac{6}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण m साठी थेट सोडवू शकता.

$$m+4\left(-\frac{6}{19}\right)=-1$$

-\frac{6}{19} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$m-\frac{24}{19}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{24}{19} जोडा.

$$m=\frac{5}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$m=\frac{5}{19},n=-\frac{6}{19}$$