{l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$78x+40y=1280$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 40y वजा करा.

$$78x=-40y+1280$$

दोन्ही बाजूंना 78 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

-40y+1280 ला \frac{1}{78} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-20y+640}{39} चा विकल्प वापरा, 120x+8y=2800.

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

\frac{-20y+640}{39} ला 120 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

-\frac{800y}{13} ते 8y जोडा.

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{25600}{13} वजा करा.

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{696}{13} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{450}{29}$$

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} मध्ये y साठी -\frac{450}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{450}{29} चा -\frac{20}{39} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{640}{39} ते \frac{3000}{377} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{2120}{87}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

78x आणि 120x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 120 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 78 ने गुणाकार करा.

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

सरलीकृत करा.

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 9360x+4800y=153600 मधून 9360x+624y=218400 वजा करा.

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

9360x ते -9360x जोडा. 9360x आणि -9360x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4800y-624y=153600-218400$$

4800y ते -624y जोडा.

$$4176y=153600-218400$$

153600 ते -218400 जोडा.

$$4176y=-64800$$

दोन्ही बाजूंना 4176 ने विभागा.

$$y=-\frac{450}{29}$$

120x+8y=2800 मध्ये y साठी -\frac{450}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

-\frac{450}{29} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3600}{29} जोडा.

$$120x=\frac{84800}{29}$$

दोन्ही बाजूंना 120 ने विभागा.

$$x=\frac{2120}{87}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$