{l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x-18y=-85$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 18y जोडा.

$$6x=18y-85$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

18y-85 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 3y-\frac{85}{6} चा विकल्प वापरा, 24x-5y=-5.

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

3y-\frac{85}{6} ला 24 वेळा गुणाकार करा.

$$72y-340-5y=-5$$

72y ते -5y जोडा.

$$67y-340=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 340 जोडा.

$$67y=335$$

दोन्ही बाजूंना 67 ने विभागा.

$$y=5$$

x=3y-\frac{85}{6} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

5 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

-\frac{85}{6} ते 15 जोडा.

$$x=\frac{5}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

6x आणि 24x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 24 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

सरलीकृत करा.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 144x-432y=-2040 मधून 144x-30y=-30 वजा करा.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

144x ते -144x जोडा. 144x आणि -144x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-432y+30y=-2040+30$$

-432y ते 30y जोडा.

$$-402y=-2040+30$$

-2040 ते 30 जोडा.

$$-402y=-2010$$

दोन्ही बाजूंना -402 ने विभागा.

$$y=5$$

24x-5y=-5 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$24x-5\times 5=-5$$

5 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$24x-25=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 25 जोडा.

$$24x=20$$

दोन्ही बाजूंना 24 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$