{l}{5x-y=110}{9y-x=110} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=25$$

$$y=15$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-y=110$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$5x=y+110$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

y+110 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{5}+22 चा विकल्प वापरा, -x+9y=110.

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

\frac{y}{5}+22 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

-\frac{y}{5} ते 9y जोडा.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 22 जोडा.

$$\frac{44}{5}y=132$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{44}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=15$$

x=\frac{1}{5}y+22 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

15 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=3+22$$

22 ते 3 जोडा.

$$x=25$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=25,y=15$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=25,y=15$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

5x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

सरलीकृत करा.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -5x+y=-110 मधून -5x+45y=550 वजा करा.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

-5x ते 5x जोडा. -5x आणि 5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y-45y=-110-550$$

y ते -45y जोडा.

$$-44y=-110-550$$

-110 ते -550 जोडा.

$$-44y=-660$$

दोन्ही बाजूंना -44 ने विभागा.

$$y=15$$

-x+9y=110 मध्ये y साठी 15 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x+9\times 15=110$$

15 ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-x+135=110$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 135 वजा करा.

$$-x=-25$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=25$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=25,y=15$$