{l}{5x+4y=2}{3x-2y=10} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = 2 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+4y=2,3x-2y=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+4y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$5x=-4y+2$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+2\right)$$

-4y+2 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-4y+2}{5} चा विकल्प वापरा, 3x-2y=10.

$$3\left(-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5}\right)-2y=10$$

\frac{-4y+2}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{12}{5}y+\frac{6}{5}-2y=10$$

-\frac{12y}{5} ते -2y जोडा.

$$-\frac{22}{5}y+\frac{6}{5}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{6}{5} वजा करा.

$$-\frac{22}{5}y=\frac{44}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{22}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-2$$

x=-\frac{4}{5}y+\frac{2}{5} मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-2\right)+\frac{2}{5}$$

-2 ला -\frac{4}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8+2}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{5} ते \frac{8}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+4y=2,3x-2y=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&4\\3&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-4\times 3}&-\frac{4}{5\left(-2\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-4\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{3}{22}&-\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 2+\frac{2}{11}\times 10\\\frac{3}{22}\times 2-\frac{5}{22}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+4y=2,3x-2y=10$$

5x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$3\times 5x+3\times 4y=3\times 2,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$15x+12y=6,15x-10y=50$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x+12y=6 मधून 15x-10y=50 वजा करा.

$$15x-15x+12y+10y=6-50$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y+10y=6-50$$

12y ते 10y जोडा.

$$22y=6-50$$

6 ते -50 जोडा.

$$22y=-44$$

दोन्ही बाजूंना 22 ने विभागा.

$$y=-2$$

3x-2y=10 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-2\left(-2\right)=10$$

-2 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+4=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$3x=6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-2$$