{l}{5x+2y=6}{2x+5y=8} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+2y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$5x=-2y+6$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

-2y+6 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-2y+6}{5} चा विकल्प वापरा, 2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

\frac{-2y+6}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{12}{5}+5y=8$$

-\frac{4y}{5} ते 5y जोडा.

$$\frac{21}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{12}{5} वजा करा.

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{21}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{4}{3}$$

x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5} मध्ये y साठी \frac{4}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{6}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{4}{3} चा -\frac{2}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{6}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{6}{5} ते -\frac{8}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{2}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\times 6+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 6,5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$10x+4y=12,10x+25y=40$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x+4y=12 मधून 10x+25y=40 वजा करा.

$$10x-10x+4y-25y=12-40$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-25y=12-40$$

4y ते -25y जोडा.

$$-21y=12-40$$

12 ते -40 जोडा.

$$-21y=-28$$

दोन्ही बाजूंना -21 ने विभागा.

$$y=\frac{4}{3}$$

2x+5y=8 मध्ये y साठी \frac{4}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+5\times \frac{4}{3}=8$$

\frac{4}{3} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{20}{3}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{20}{3} वजा करा.

$$2x=\frac{4}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{2}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$