{l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=10$$

$$y=20$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$48x+40y=1280$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 40y वजा करा.

$$48x=-40y+1280$$

दोन्ही बाजूंना 48 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

-40y+1280 ला \frac{1}{48} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} चा विकल्प वापरा, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

-\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} ला 120 वेळा गुणाकार करा.

$$-100y+3200+80y=2800$$

-100y ते 80y जोडा.

$$-20y+3200=2800$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3200 वजा करा.

$$-20y=-400$$

दोन्ही बाजूंना -20 ने विभागा.

$$y=20$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3} मध्ये y साठी 20 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

20 ला -\frac{5}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{80}{3} ते -\frac{50}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=20$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=10,y=20$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

48x आणि 120x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 120 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 48 ने गुणाकार करा.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

सरलीकृत करा.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5760x+4800y=153600 मधून 5760x+3840y=134400 वजा करा.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

5760x ते -5760x जोडा. 5760x आणि -5760x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

4800y ते -3840y जोडा.

$$960y=153600-134400$$

153600 ते -134400 जोडा.

$$960y=19200$$

दोन्ही बाजूंना 960 ने विभागा.

$$y=20$$

120x+80y=2800 मध्ये y साठी 20 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$120x+80\times 20=2800$$

20 ला 80 वेळा गुणाकार करा.

$$120x+1600=2800$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 1600 वजा करा.

$$120x=1200$$

दोन्ही बाजूंना 120 ने विभागा.

$$x=10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=10,y=20$$