{l}{44k+b=72}{48k+b=64} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

k, b साठी सोडवा

$$k=-2$$

$$b=160$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला k विलग करून, k साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$44k+b=72$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून b वजा करा.

$$44k=-b+72$$

दोन्ही बाजूंना 44 ने विभागा.

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

-b+72 ला \frac{1}{44} वेळा गुणाकार करा.

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

इतर समीकरणामध्ये k साठी -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} चा विकल्प वापरा, 48k+b=64.

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

-\frac{b}{44}+\frac{18}{11} ला 48 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

-\frac{12b}{11} ते b जोडा.

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{864}{11} वजा करा.

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने गुणाकार करा.

$$b=160$$

k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11} मध्ये b साठी 160 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण k साठी थेट सोडवू शकता.

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

160 ला -\frac{1}{44} वेळा गुणाकार करा.

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{18}{11} ते -\frac{40}{11} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$k=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=-2,b=160$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे k आणि b घटक बाहेर काढा.

$$k=-2,b=160$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$44k+b=72,48k+b=64$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 44k+b=72 मधून 48k+b=64 वजा करा.

$$44k-48k+b-b=72-64$$

b ते -b जोडा. b आणि -b रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$44k-48k=72-64$$

44k ते -48k जोडा.

$$-4k=72-64$$

72 ते -64 जोडा.

$$-4k=8$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$k=-2$$

48k+b=64 मध्ये k साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण b साठी थेट सोडवू शकता.

$$48\left(-2\right)+b=64$$

-2 ला 48 वेळा गुणाकार करा.

$$-96+b=64$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 96 जोडा.

$$b=160$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=-2,b=160$$