{l}{44=112k+b}{16=82k+b} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

k, b साठी सोडवा

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$112k+b=44$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$82k+b=16$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला k विलग करून, k साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$112k+b=44$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून b वजा करा.

$$112k=-b+44$$

दोन्ही बाजूंना 112 ने विभागा.

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

-b+44 ला \frac{1}{112} वेळा गुणाकार करा.

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

इतर समीकरणामध्ये k साठी -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} चा विकल्प वापरा, 82k+b=16.

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

-\frac{b}{112}+\frac{11}{28} ला 82 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

-\frac{41b}{56} ते b जोडा.

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{451}{14} वजा करा.

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{15}{56} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$b=-\frac{908}{15}$$

k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28} मध्ये b साठी -\frac{908}{15} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण k साठी थेट सोडवू शकता.

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{908}{15} चा -\frac{1}{112} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{11}{28} ते \frac{227}{420} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$k=\frac{14}{15}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$112k+b=44$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$82k+b=16$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे k आणि b घटक बाहेर काढा.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$112k+b=44$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$82k+b=16$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$112k+b=44,82k+b=16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 112k+b=44 मधून 82k+b=16 वजा करा.

$$112k-82k+b-b=44-16$$

b ते -b जोडा. b आणि -b रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$112k-82k=44-16$$

112k ते -82k जोडा.

$$30k=44-16$$

44 ते -16 जोडा.

$$30k=28$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$k=\frac{14}{15}$$

82k+b=16 मध्ये k साठी \frac{14}{15} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण b साठी थेट सोडवू शकता.

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

\frac{14}{15} ला 82 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1148}{15} वजा करा.

$$b=-\frac{908}{15}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$