{l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$a\neq -4\text{ and }a\neq 4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4a जोडा.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस ay जोडा.

$$4x=ay+4a$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

a\left(4+y\right) ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी a+\frac{ay}{4} चा विकल्प वापरा, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

a+\frac{ay}{4} ला a वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

\frac{a^{2}y}{4} ते -4y जोडा.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

a^{2} ते 6a जोडा.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून a\left(6+a\right) वजा करा.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

दोन्ही बाजूंना -4+\frac{a^{2}}{4} ने विभागा.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

x=\frac{a}{4}y+a मध्ये y साठी -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

-\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} ला \frac{a}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

a ते -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16} जोडा.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

4x आणि ax समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना a ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

सरलीकृत करा.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 मधून 4ax-16y+24a=0 वजा करा.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

4ax ते -4ax जोडा. 4ax आणि -4ax रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

-a^{2}y ते 16y जोडा.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

-4a^{2} ते -24a जोडा.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4a\left(6+a\right) जोडा.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

दोन्ही बाजूंना -a^{2}+16 ने विभागा.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

ax-4y+6a=0 मध्ये y साठी \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

\frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

-\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ते 6a जोडा.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} जोडा.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

दोन्ही बाजूंना a ने विभागा.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4a जोडा.

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस ay जोडा.

$$4x=ay+4a$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

a\left(4+y\right) ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी a+\frac{ay}{4} चा विकल्प वापरा, ax-4y+6a=0.

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

a+\frac{ay}{4} ला a वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

\frac{a^{2}y}{4} ते -4y जोडा.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

a^{2} ते 6a जोडा.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून a\left(6+a\right) वजा करा.

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

दोन्ही बाजूंना -4+\frac{a^{2}}{4} ने विभागा.

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

x=\frac{a}{4}y+a मध्ये y साठी -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

-\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} ला \frac{a}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

a ते -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16} जोडा.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

4x आणि ax समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना a ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

सरलीकृत करा.

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 मधून 4ax-16y+24a=0 वजा करा.

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

4ax ते -4ax जोडा. 4ax आणि -4ax रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

-a^{2}y ते 16y जोडा.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

-4a^{2} ते -24a जोडा.

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4a\left(6+a\right) जोडा.

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

दोन्ही बाजूंना -a^{2}+16 ने विभागा.

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

ax-4y+6a=0 मध्ये y साठी \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

\frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

-\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ते 6a जोडा.

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} जोडा.

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

दोन्ही बाजूंना a ने विभागा.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$