{l}{4x-2y=8}{5x+3y=-1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 5 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=-2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-2y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$4x=2y+8$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

8+2y ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{2}+2 चा विकल्प वापरा, 5x+3y=-1.

$$5\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=-1$$

\frac{y}{2}+2 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{5}{2}y+10+3y=-1$$

\frac{5y}{2} ते 3y जोडा.

$$\frac{11}{2}y+10=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$\frac{11}{2}y=-11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{2}y+2 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+2$$

-2 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1+2$$

2 ते -1 जोडा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\-\frac{5}{22}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 8+\frac{1}{11}\left(-1\right)\\-\frac{5}{22}\times 8+\frac{2}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-2y=8,5x+3y=-1$$

4x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$5\times 4x+5\left(-2\right)y=5\times 8,4\times 5x+4\times 3y=4\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$20x-10y=40,20x+12y=-4$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x-10y=40 मधून 20x+12y=-4 वजा करा.

$$20x-20x-10y-12y=40+4$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-10y-12y=40+4$$

-10y ते -12y जोडा.

$$-22y=40+4$$

40 ते 4 जोडा.

$$-22y=44$$

दोन्ही बाजूंना -22 ने विभागा.

$$y=-2$$

5x+3y=-1 मध्ये y साठी -2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+3\left(-2\right)=-1$$

-2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-6=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$5x=5$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-2$$