{l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

-3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

x मिळविण्यासाठी 4x आणि -3x एकत्र करा.

$$x+4y+3y=10$$

7y मिळविण्यासाठी 4y आणि 3y एकत्र करा.

$$x+7y=10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

-3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

-x मिळविण्यासाठी 2x आणि -3x एकत्र करा.

$$-x+2y+3y=2$$

5y मिळविण्यासाठी 2y आणि 3y एकत्र करा.

$$-x+5y=2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x+7y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 7y वजा करा.

$$x=-7y+10$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -7y+10 चा विकल्प वापरा, -x+5y=2.

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

-7y+10 ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$7y-10+5y=2$$

7y ते 5y जोडा.

$$12y-10=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10 जोडा.

$$12y=12$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$y=1$$

x=-7y+10 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-7+10$$

10 ते -7 जोडा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

-3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

x मिळविण्यासाठी 4x आणि -3x एकत्र करा.

$$x+4y+3y=10$$

7y मिळविण्यासाठी 4y आणि 3y एकत्र करा.

$$x+7y=10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

-3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

-x मिळविण्यासाठी 2x आणि -3x एकत्र करा.

$$-x+2y+3y=2$$

5y मिळविण्यासाठी 2y आणि 3y एकत्र करा.

$$-x+5y=2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 4 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

-3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+4y-3x+3y=10$$

x मिळविण्यासाठी 4x आणि -3x एकत्र करा.

$$x+4y+3y=10$$

7y मिळविण्यासाठी 4y आणि 3y एकत्र करा.

$$x+7y=10$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

-3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y-3x+3y=2$$

-x मिळविण्यासाठी 2x आणि -3x एकत्र करा.

$$-x+2y+3y=2$$

5y मिळविण्यासाठी 2y आणि 3y एकत्र करा.

$$-x+5y=2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -x-7y=-10 मधून -x+5y=2 वजा करा.

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

-x ते x जोडा. -x आणि x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-7y-5y=-10-2$$

-7y ते -5y जोडा.

$$-12y=-10-2$$

-10 ते -2 जोडा.

$$-12y=-12$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$y=1$$

-x+5y=2 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x+5=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5 वजा करा.

$$-x=-3$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=1$$