{l}{3x-5y-4=0}{15y=4x+3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y - 4 = 0 } \\ { 15 y = 4 x + 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$3x-5y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$15y-4x=3$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-5y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$3x=5y+4$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

5y+4 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y+4}{3} चा विकल्प वापरा, -4x+15y=3.

$$-4\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+15y=3$$

\frac{5y+4}{3} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{16}{3}+15y=3$$

-\frac{20y}{3} ते 15y जोडा.

$$\frac{25}{3}y-\frac{16}{3}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{16}{3} जोडा.

$$\frac{25}{3}y=\frac{25}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{25}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{4}{3} ते \frac{5}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$3x-5y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$15y-4x=3$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\-4&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}&\frac{3}{3\times 15-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{4}{25}\times 4+\frac{3}{25}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$3x-5y=4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$15y-4x=3$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-5y=4,-4x+15y=3$$

3x आणि -4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$-4\times 3x-4\left(-5\right)y=-4\times 4,3\left(-4\right)x+3\times 15y=3\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$-12x+20y=-16,-12x+45y=9$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -12x+20y=-16 मधून -12x+45y=9 वजा करा.

$$-12x+12x+20y-45y=-16-9$$

-12x ते 12x जोडा. -12x आणि 12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$20y-45y=-16-9$$

20y ते -45y जोडा.

$$-25y=-16-9$$

-16 ते -9 जोडा.

$$-25y=-25$$

दोन्ही बाजूंना -25 ने विभागा.

$$y=1$$

-4x+15y=3 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4x+15=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 15 वजा करा.

$$-4x=-12$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=1$$