{l}{3x+5y=9}{2x-5y=1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 9 } \\ { 2 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x+5y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$3x=-5y+9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+9\right)$$

-5y+9 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{3}y+3$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{3}+3 चा विकल्प वापरा, 2x-5y=1.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+3\right)-5y=1$$

-\frac{5y}{3}+3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{10}{3}y+6-5y=1$$

-\frac{10y}{3} ते -5y जोडा.

$$-\frac{25}{3}y+6=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$-\frac{25}{3}y=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{25}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{3}{5}$$

x=-\frac{5}{3}y+3 मध्ये y साठी \frac{3}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{3}{5}+3$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{3}{5} चा -\frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-1+3$$

3 ते -1 जोडा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-5\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 9+\frac{1}{5}\\\frac{2}{25}\times 9-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

3x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 9,3\times 2x+3\left(-5\right)y=3$$

सरलीकृत करा.

$$6x+10y=18,6x-15y=3$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x+10y=18 मधून 6x-15y=3 वजा करा.

$$6x-6x+10y+15y=18-3$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10y+15y=18-3$$

10y ते 15y जोडा.

$$25y=18-3$$

18 ते -3 जोडा.

$$25y=15$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$y=\frac{3}{5}$$

2x-5y=1 मध्ये y साठी \frac{3}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-5\times \frac{3}{5}=1$$

\frac{3}{5} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-3=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$2x=4$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$