{l}{3(x+y)+2(x-y)=18}{2(x+y)-(x-y)=-4} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 2 ( x - y ) = 18 } \\ { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

$$y = -\frac{19}{7} = -2\frac{5}{7} \approx -2.714285714$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

2 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x मिळविण्यासाठी 3x आणि 2x एकत्र करा.

$$5x+3y-2y=18$$

y मिळविण्यासाठी 3y आणि -2y एकत्र करा.

$$5x+y=18$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$2x+2y-x+y=-4$$

x मिळविण्यासाठी 2x आणि -x एकत्र करा.

$$x+2y+y=-4$$

3y मिळविण्यासाठी 2y आणि y एकत्र करा.

$$x+3y=-4$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+y=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$5x=-y+18$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+18\right)$$

-y+18 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+18}{5} चा विकल्प वापरा, x+3y=-4.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5}+3y=-4$$

-\frac{y}{5} ते 3y जोडा.

$$\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{18}{5} वजा करा.

$$\frac{14}{5}y=-\frac{38}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{14}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{19}{7}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{18}{5} मध्ये y साठी -\frac{19}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{19}{7}\right)+\frac{18}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{19}{7} चा -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{19}{35}+\frac{18}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{18}{5} ते \frac{19}{35} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{29}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

2 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x मिळविण्यासाठी 3x आणि 2x एकत्र करा.

$$5x+3y-2y=18$$

y मिळविण्यासाठी 3y आणि -2y एकत्र करा.

$$5x+y=18$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$2x+2y-x+y=-4$$

x मिळविण्यासाठी 2x आणि -x एकत्र करा.

$$x+2y+y=-4$$

3y मिळविण्यासाठी 2y आणि y एकत्र करा.

$$x+3y=-4$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-1}&-\frac{1}{5\times 3-1}\\-\frac{1}{5\times 3-1}&\frac{5}{5\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 18-\frac{1}{14}\left(-4\right)\\-\frac{1}{14}\times 18+\frac{5}{14}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{7}\\-\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+2\left(x-y\right)=18$$

2 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x+3y+2x-2y=18$$

5x मिळविण्यासाठी 3x आणि 2x एकत्र करा.

$$5x+3y-2y=18$$

y मिळविण्यासाठी 3y आणि -2y एकत्र करा.

$$5x+y=18$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 2 ला x+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=-4$$

x-y च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$2x+2y-x+y=-4$$

x मिळविण्यासाठी 2x आणि -x एकत्र करा.

$$x+2y+y=-4$$

3y मिळविण्यासाठी 2y आणि y एकत्र करा.

$$x+3y=-4$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+y=18,x+3y=-4$$

5x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$5x+y=18,5x+5\times 3y=5\left(-4\right)$$

सरलीकृत करा.

$$5x+y=18,5x+15y=-20$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x+y=18 मधून 5x+15y=-20 वजा करा.

$$5x-5x+y-15y=18+20$$

5x ते -5x जोडा. 5x आणि -5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$y-15y=18+20$$

y ते -15y जोडा.

$$-14y=18+20$$

18 ते 20 जोडा.

$$-14y=38$$

दोन्ही बाजूंना -14 ने विभागा.

$$y=-\frac{19}{7}$$

x+3y=-4 मध्ये y साठी -\frac{19}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+3\left(-\frac{19}{7}\right)=-4$$

-\frac{19}{7} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{57}{7}=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{57}{7} जोडा.

$$x=\frac{29}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{29}{7},y=-\frac{19}{7}$$