{l}{2.5x+3y=1}{-2.5x+2y=4} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2.5 x + 3 y = 1 } \\ { - 2.5 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-0.8$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2.5x+3y=1,-2.5x+2y=4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2.5x+3y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$2.5x=-3y+1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2.5 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=0.4\left(-3y+1\right)$$

-3y+1 ला 0.4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-1.2y+0.4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-6y+2}{5} चा विकल्प वापरा, -2.5x+2y=4.

$$-2.5\left(-1.2y+0.4\right)+2y=4$$

\frac{-6y+2}{5} ला -2.5 वेळा गुणाकार करा.

$$3y-1+2y=4$$

3y ते 2y जोडा.

$$5y-1=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 1 जोडा.

$$5y=5$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=1$$

x=-1.2y+0.4 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{-6+2}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 0.4 ते -1.2 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-0.8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-0.8,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2.5x+3y=1,-2.5x+2y=4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.5&3\\-2.5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}&-\frac{3}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}\\-\frac{-2.5}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}&\frac{2.5}{2.5\times 2-3\left(-2.5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16&-0.24\\0.2&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16-0.24\times 4\\0.2+0.2\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-0.8,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2.5x+3y=1,-2.5x+2y=4$$

\frac{5x}{2} आणि -\frac{5x}{2} समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2.5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2.5 ने गुणाकार करा.

$$-2.5\times 2.5x-2.5\times 3y=-2.5,2.5\left(-2.5\right)x+2.5\times 2y=2.5\times 4$$

सरलीकृत करा.

$$-6.25x-7.5y=-2.5,-6.25x+5y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -6.25x-7.5y=-2.5 मधून -6.25x+5y=10 वजा करा.

$$-6.25x+6.25x-7.5y-5y=-2.5-10$$

-\frac{25x}{4} ते \frac{25x}{4} जोडा. -\frac{25x}{4} आणि \frac{25x}{4} रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-7.5y-5y=-2.5-10$$

-\frac{15y}{2} ते -5y जोडा.

$$-12.5y=-2.5-10$$

-2.5 ते -10 जोडा.

$$-12.5y=-12.5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -12.5 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

-2.5x+2y=4 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2.5x+2=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$-2.5x=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -2.5 ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=-0.8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-0.8,y=1$$