{l}{2x-y=5}{4x+6y=24} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x-y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$2x=y+5$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

y+5 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5+y}{2} चा विकल्प वापरा, 4x+6y=24.

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

\frac{5+y}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$2y+10+6y=24$$

2y ते 6y जोडा.

$$8y+10=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$8y=14$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=\frac{7}{4}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} मध्ये y साठी \frac{7}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{7}{4} चा \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{2} ते \frac{7}{8} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{27}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

2x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

सरलीकृत करा.

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 8x-4y=20 मधून 8x+12y=48 वजा करा.

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

8x ते -8x जोडा. 8x आणि -8x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4y-12y=20-48$$

-4y ते -12y जोडा.

$$-16y=20-48$$

20 ते -48 जोडा.

$$-16y=-28$$

दोन्ही बाजूंना -16 ने विभागा.

$$y=\frac{7}{4}$$

4x+6y=24 मध्ये y साठी \frac{7}{4} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

\frac{7}{4} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{21}{2} वजा करा.

$$4x=\frac{27}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{27}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$