{l}{2p+3m=8}{p+2m=6} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

p, m साठी सोडवा

$$p=-2$$

$$m=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला p विलग करून, p साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2p+3m=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3m वजा करा.

$$2p=-3m+8$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

-3m+8 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

इतर समीकरणामध्ये p साठी -\frac{3m}{2}+4 चा विकल्प वापरा, p+2m=6.

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

-\frac{3m}{2} ते 2m जोडा.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$\frac{1}{2}m=2$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$m=4$$

p=-\frac{3}{2}m+4 मध्ये m साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण p साठी थेट सोडवू शकता.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

4 ला -\frac{3}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$p=-6+4$$

4 ते -6 जोडा.

$$p=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$p=-2,m=4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे p आणि m घटक बाहेर काढा.

$$p=-2,m=4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

2p आणि p समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2p+3m=8 मधून 2p+4m=12 वजा करा.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

2p ते -2p जोडा. 2p आणि -2p रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3m-4m=8-12$$

3m ते -4m जोडा.

$$-m=8-12$$

8 ते -12 जोडा.

$$-m=-4$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$m=4$$

p+2m=6 मध्ये m साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण p साठी थेट सोडवू शकता.

$$p+2\times 4=6$$

4 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$p+8=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$p=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$p=-2,m=4$$