{l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$150y+200x=1000$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 200x वजा करा.

$$150y=-200x+1000$$

दोन्ही बाजूंना 150 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

-200x+1000 ला \frac{1}{150} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-4x+20}{3} चा विकल्प वापरा, 100y+400x=1200.

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

\frac{-4x+20}{3} ला 100 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

-\frac{400x}{3} ते 400x जोडा.

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{2000}{3} वजा करा.

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{800}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=2$$

y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3} मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

2 ला -\frac{4}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{20}{3} ते -\frac{8}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=4,x=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

150y आणि 100y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 100 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 150 ने गुणाकार करा.

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

सरलीकृत करा.

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15000y+20000x=100000 मधून 15000y+60000x=180000 वजा करा.

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

15000y ते -15000y जोडा. 15000y आणि -15000y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$20000x-60000x=100000-180000$$

20000x ते -60000x जोडा.

$$-40000x=100000-180000$$

100000 ते -180000 जोडा.

$$-40000x=-80000$$

दोन्ही बाजूंना -40000 ने विभागा.

$$x=2$$

100y+400x=1200 मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$100y+400\times 2=1200$$

2 ला 400 वेळा गुणाकार करा.

$$100y+800=1200$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 800 वजा करा.

$$100y=400$$

दोन्ही बाजूंना 100 ने विभागा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=2$$