{l}{125x+110y=6100}{x+y=50} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=40$$

$$y=10$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$125x+110y=6100$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 110y वजा करा.

$$125x=-110y+6100$$

दोन्ही बाजूंना 125 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

-110y+6100 ला \frac{1}{125} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} चा विकल्प वापरा, x+y=50.

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

-\frac{22y}{25} ते y जोडा.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{244}{5} वजा करा.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{25} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=10$$

x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5} मध्ये y साठी 10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

10 ला -\frac{22}{25} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{244}{5} ते -\frac{44}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=40$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=40,y=10$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=40,y=10$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

125x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 125 ने गुणाकार करा.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

सरलीकृत करा.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 125x+110y=6100 मधून 125x+125y=6250 वजा करा.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

125x ते -125x जोडा. 125x आणि -125x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$110y-125y=6100-6250$$

110y ते -125y जोडा.

$$-15y=6100-6250$$

6100 ते -6250 जोडा.

$$-15y=-150$$

दोन्ही बाजूंना -15 ने विभागा.

$$y=10$$

x+y=50 मध्ये y साठी 10 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+10=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 10 वजा करा.

$$x=40$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=40,y=10$$