{l}{12y+20x=112}{12x+20y=144} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { 12 y + 20 x = 112 } \\ { 12 x + 20 y = 144 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$12y+20x=112$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 20x वजा करा.

$$12y=-20x+112$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{12}\left(-20x+112\right)$$

-20x+112 ला \frac{1}{12} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-5x+28}{3} चा विकल्प वापरा, 20y+12x=144.

$$20\left(-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3}\right)+12x=144$$

\frac{-5x+28}{3} ला 20 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{100}{3}x+\frac{560}{3}+12x=144$$

-\frac{100x}{3} ते 12x जोडा.

$$-\frac{64}{3}x+\frac{560}{3}=144$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{560}{3} वजा करा.

$$-\frac{64}{3}x=-\frac{128}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{64}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=2$$

y=-\frac{5}{3}x+\frac{28}{3} मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{5}{3}\times 2+\frac{28}{3}$$

2 ला -\frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{-10+28}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{28}{3} ते -\frac{10}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=6,x=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&20\\20&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12\times 12-20\times 20}&-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}\\-\frac{20}{12\times 12-20\times 20}&\frac{12}{12\times 12-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}&\frac{5}{64}\\\frac{5}{64}&-\frac{3}{64}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\144\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{64}\times 112+\frac{5}{64}\times 144\\\frac{5}{64}\times 112-\frac{3}{64}\times 144\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=6,x=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$12y+20x=112,20y+12x=144$$

12y आणि 20y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 20 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने गुणाकार करा.

$$20\times 12y+20\times 20x=20\times 112,12\times 20y+12\times 12x=12\times 144$$

सरलीकृत करा.

$$240y+400x=2240,240y+144x=1728$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 240y+400x=2240 मधून 240y+144x=1728 वजा करा.

$$240y-240y+400x-144x=2240-1728$$

240y ते -240y जोडा. 240y आणि -240y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$400x-144x=2240-1728$$

400x ते -144x जोडा.

$$256x=2240-1728$$

2240 ते -1728 जोडा.

$$256x=512$$

दोन्ही बाजूंना 256 ने विभागा.

$$x=2$$

20y+12x=144 मध्ये x साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$20y+12\times 2=144$$

2 ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$20y+24=144$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$20y=120$$

दोन्ही बाजूंना 20 ने विभागा.

$$y=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=6,x=2$$