{l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3y-2y=6$$

-5y मिळविण्यासाठी -3y आणि -2y एकत्र करा.

$$3x-5y=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. x+\frac{1}{2}y मिळविण्यासाठी 2x+y च्या प्रत्येक टर्मला 2 ने भागा.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y मिळविण्यासाठी \frac{1}{2}y आणि -y एकत्र करा.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$3x-5y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5y जोडा.

$$3x=5y+6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

5y+6 ला \frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5y}{3}+2 चा विकल्प वापरा, x-\frac{1}{2}y=0.

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

\frac{5y}{3} ते -\frac{y}{2} जोडा.

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$\frac{7}{6}y=-2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{6} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{12}{7}$$

x=\frac{5}{3}y+2 मध्ये y साठी -\frac{12}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{12}{7} चा \frac{5}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

2 ते -\frac{20}{7} जोडा.

$$x=-\frac{6}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3y-2y=6$$

-5y मिळविण्यासाठी -3y आणि -2y एकत्र करा.

$$3x-5y=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. x+\frac{1}{2}y मिळविण्यासाठी 2x+y च्या प्रत्येक टर्मला 2 ने भागा.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y मिळविण्यासाठी \frac{1}{2}y आणि -y एकत्र करा.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 6 ने गुणाकार करा, 2,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

3 ला x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$3x-3y-2y=6$$

-5y मिळविण्यासाठी -3y आणि -2y एकत्र करा.

$$3x-5y=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. x+\frac{1}{2}y मिळविण्यासाठी 2x+y च्या प्रत्येक टर्मला 2 ने भागा.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y मिळविण्यासाठी \frac{1}{2}y आणि -y एकत्र करा.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

3x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने गुणाकार करा.

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

सरलीकृत करा.

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 3x-5y=6 मधून 3x-\frac{3}{2}y=0 वजा करा.

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

3x ते -3x जोडा. 3x आणि -3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

-5y ते \frac{3y}{2} जोडा.

$$-\frac{7}{2}y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{7}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{12}{7}$$

x-\frac{1}{2}y=0 मध्ये y साठी -\frac{12}{7} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{12}{7} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x+\frac{6}{7}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{6}{7} वजा करा.

$$x=-\frac{6}{7}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$