{l}{x-3/4-y+1/2=-3}{3(2x-y)-2y=-21} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 4 } - \frac { y + 1 } { 2 } = - 3 } \\ { 3 ( 2 x - y ) - 2 y = - 21 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 4 ने गुणाकार करा, 4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$x-3-2\left(y+1\right)=-12$$

-2 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-3-2y-2=-12$$

-5 मिळविण्यासाठी -3 मधून 2 वजा करा.

$$x-5-2y=-12$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x-2y=-12+5$$

-7 मिळविण्यासाठी -12 आणि 5 जोडा.

$$x-2y=-7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 2x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-3y-2y=-21$$

-5y मिळविण्यासाठी -3y आणि -2y एकत्र करा.

$$6x-5y=-21$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-2y=-7,6x-5y=-21$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-2y=-7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$x=2y-7$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 2y-7 चा विकल्प वापरा, 6x-5y=-21.

$$6\left(2y-7\right)-5y=-21$$

2y-7 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$12y-42-5y=-21$$

12y ते -5y जोडा.

$$7y-42=-21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 42 जोडा.

$$7y=21$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$y=3$$

x=2y-7 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2\times 3-7$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=6-7$$

-7 ते 6 जोडा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 4 ने गुणाकार करा, 4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$x-3-2\left(y+1\right)=-12$$

-2 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-3-2y-2=-12$$

-5 मिळविण्यासाठी -3 मधून 2 वजा करा.

$$x-5-2y=-12$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x-2y=-12+5$$

-7 मिळविण्यासाठी -12 आणि 5 जोडा.

$$x-2y=-7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 2x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-3y-2y=-21$$

-5y मिळविण्यासाठी -3y आणि -2y एकत्र करा.

$$6x-5y=-21$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-2y=-7,6x-5y=-21$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-5-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-5-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{-5-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{6}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\left(-7\right)+\frac{2}{7}\left(-21\right)\\-\frac{6}{7}\left(-7\right)+\frac{1}{7}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 4 ने गुणाकार करा, 4,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$x-3-2\left(y+1\right)=-12$$

-2 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$x-3-2y-2=-12$$

-5 मिळविण्यासाठी -3 मधून 2 वजा करा.

$$x-5-2y=-12$$

दोन्ही बाजूंना 5 जोडा.

$$x-2y=-12+5$$

-7 मिळविण्यासाठी -12 आणि 5 जोडा.

$$x-2y=-7$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. 3 ला 2x-y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x-3y-2y=-21$$

-5y मिळविण्यासाठी -3y आणि -2y एकत्र करा.

$$6x-5y=-21$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-2y=-7,6x-5y=-21$$

x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-7\right),6x-5y=-21$$

सरलीकृत करा.

$$6x-12y=-42,6x-5y=-21$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6x-12y=-42 मधून 6x-5y=-21 वजा करा.

$$6x-6x-12y+5y=-42+21$$

6x ते -6x जोडा. 6x आणि -6x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-12y+5y=-42+21$$

-12y ते 5y जोडा.

$$-7y=-42+21$$

-42 ते 21 जोडा.

$$-7y=-21$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=3$$

6x-5y=-21 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-5\times 3=-21$$

3 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-15=-21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$6x=-6$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=3$$