{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

विकल्प आणि वर्गसमीकरण सूत्र वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 4,3 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. k ला x+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$y=kx+k$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी kx+k चा विकल्प वापरा, 3x^{2}+4y^{2}=12.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

वर्ग kx+k.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

3x^{2} ते 4k^{2}x^{2} जोडा.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

हे समीकरण मानक स्वरूपात आहे: ax^{2}+bx+c=0. वर्गसमीकरण सूत्र, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मध्ये a साठी 3+4k^{2}, b साठी 4\times 2kk आणि c साठी 4k^{2}-12 विकल्प म्हणून ठेवा.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

वर्ग 4\times 2kk.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

3+4k^{2} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4k^{2}-12 ला -12-16k^{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

64k^{4} ते 144+144k^{2}-64k^{4} जोडा.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 चा वर्गमूळ घ्या.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

3+4k^{2} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

आता ± धन असताना समीकरण x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} सोडवा. -8k^{2} ते 12\sqrt{k^{2}+1} जोडा.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} ला 6+8k^{2} ने भागा.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

आता ± ऋण असताना समीकरण x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} सोडवा. -8k^{2} मधून 12\sqrt{k^{2}+1} वजा करा.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} ला 6+8k^{2} ने भागा.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x साठी दोन निरसने आहेत : \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} आणि -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. y साठी संबंधित निरसन शोधण्यासाठी, जे दोन्ही समीकरणांचे समाधान करते, समीकरण y=kx+k मध्ये x साठी \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} विकल्प म्हणून वापरा.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} ला k वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

आता समीकरण y=kx+k मध्ये x साठी -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} विकल्प म्हणून वापरा आणि y साठी संबंधित निरसन शोधण्यासाठी, जे दोन्ही समीकरणाचे समाधान करते, सोडवा.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} ला k वेळा गुणाकार करा.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y साठी सोडवा (जटिल उत्तर)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$