{l}{x+3y/3=y+1/2+3x/4}{3x+5y/5=frac{x+4}{2}-frac{x+y+9}{10}} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 3 y } { 3 } = \frac { y + 1 } { 2 } + \frac { 3 x } { 4 } } \\ { \frac { 3 x + 5 y } { 5 } = \frac { x + 4 } { 2 } - \frac { x + y + 9 } { 10 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=0$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 3,2,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

4 ला x+3y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

6 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 मिळविण्यासाठी 3 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

दोन्ही बाजूंकडून 6y वजा करा.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y मिळविण्यासाठी 12y आणि -6y एकत्र करा.

$$4x+6y=6+9x$$

दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$4x+6y-9x=6$$

-5x मिळविण्यासाठी 4x आणि -9x एकत्र करा.

$$-5x+6y=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,2,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

2 ला 3x+5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

5 ला x+4 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x मिळविण्यासाठी 5x आणि -x एकत्र करा.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 मिळविण्यासाठी 20 मधून 9 वजा करा.

$$6x+10y=4x+11-y$$

दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x मिळविण्यासाठी 6x आणि -4x एकत्र करा.

$$2x+10y=11-y$$

दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$2x+10y+y=11$$

11y मिळविण्यासाठी 10y आणि y एकत्र करा.

$$2x+11y=11$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-5x+6y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$-5x=-6y+6$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-6y+6\right)$$

-6y+6 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-6+6y}{5} चा विकल्प वापरा, 2x+11y=11.

$$2\left(\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}\right)+11y=11$$

\frac{-6+6y}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+11y=11$$

\frac{12y}{5} ते 11y जोडा.

$$\frac{67}{5}y-\frac{12}{5}=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{12}{5} जोडा.

$$\frac{67}{5}y=\frac{67}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{67}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{6}{5} ते \frac{6}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 3,2,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

4 ला x+3y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

6 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 मिळविण्यासाठी 3 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

दोन्ही बाजूंकडून 6y वजा करा.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y मिळविण्यासाठी 12y आणि -6y एकत्र करा.

$$4x+6y=6+9x$$

दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$4x+6y-9x=6$$

-5x मिळविण्यासाठी 4x आणि -9x एकत्र करा.

$$-5x+6y=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,2,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

2 ला 3x+5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

5 ला x+4 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x मिळविण्यासाठी 5x आणि -x एकत्र करा.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 मिळविण्यासाठी 20 मधून 9 वजा करा.

$$6x+10y=4x+11-y$$

दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x मिळविण्यासाठी 6x आणि -4x एकत्र करा.

$$2x+10y=11-y$$

दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$2x+10y+y=11$$

11y मिळविण्यासाठी 10y आणि y एकत्र करा.

$$2x+11y=11$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{6}{-5\times 11-6\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{5}{-5\times 11-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}&\frac{6}{67}\\\frac{2}{67}&\frac{5}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}\times 6+\frac{6}{67}\times 11\\\frac{2}{67}\times 6+\frac{5}{67}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=0,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 3,2,4 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

4 ला x+3y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x$$

6 ला y+1 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$4x+12y=6y+6+3\times 3x$$

9 मिळविण्यासाठी 3 आणि 3 चा गुणाकार करा.

$$4x+12y=6y+6+9x$$

दोन्ही बाजूंकडून 6y वजा करा.

$$4x+12y-6y=6+9x$$

6y मिळविण्यासाठी 12y आणि -6y एकत्र करा.

$$4x+6y=6+9x$$

दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$4x+6y-9x=6$$

-5x मिळविण्यासाठी 4x आणि -9x एकत्र करा.

$$-5x+6y=6$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 10 ने गुणाकार करा, 5,2,10 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

2 ला 3x+5y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)$$

5 ला x+4 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)$$

x+y+9 च्या विरुद्ध शोधण्यासाठी, प्रत्येक टर्मच्या विरुद्ध शोधा.

$$6x+10y=5x+20-x-y-9$$

4x मिळविण्यासाठी 5x आणि -x एकत्र करा.

$$6x+10y=4x+20-y-9$$

11 मिळविण्यासाठी 20 मधून 9 वजा करा.

$$6x+10y=4x+11-y$$

दोन्ही बाजूंकडून 4x वजा करा.

$$6x+10y-4x=11-y$$

2x मिळविण्यासाठी 6x आणि -4x एकत्र करा.

$$2x+10y=11-y$$

दोन्ही बाजूंना y जोडा.

$$2x+10y+y=11$$

11y मिळविण्यासाठी 10y आणि y एकत्र करा.

$$2x+11y=11$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-5x+6y=6,2x+11y=11$$

-5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने गुणाकार करा.

$$2\left(-5\right)x+2\times 6y=2\times 6,-5\times 2x-5\times 11y=-5\times 11$$

सरलीकृत करा.

$$-10x+12y=12,-10x-55y=-55$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -10x+12y=12 मधून -10x-55y=-55 वजा करा.

$$-10x+10x+12y+55y=12+55$$

-10x ते 10x जोडा. -10x आणि 10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y+55y=12+55$$

12y ते 55y जोडा.

$$67y=12+55$$

12 ते 55 जोडा.

$$67y=67$$

दोन्ही बाजूंना 67 ने विभागा.

$$y=1$$

2x+11y=11 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+11=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 11 वजा करा.

$$2x=0$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,y=1$$