{l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित केले नसल्याने चल y हे -5,0 च्या कोणत्याही मूल्यांच्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा y\left(y+5\right) ने गुणाकार करा, y+5,y चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 ला x+7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

दोन्ही बाजूंकडून yx वजा करा.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 मिळविण्यासाठी yx आणि -yx एकत्र करा.

$$2y=7y+5x+35$$

दोन्ही बाजूंकडून 7y वजा करा.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y मिळविण्यासाठी 2y आणि -7y एकत्र करा.

$$-5y=5x+35$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

35+5x ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-x-7$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -x-7 चा विकल्प वापरा, -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-x-7 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+28+2x=-1$$

4x ते 2x जोडा.

$$6x+28=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 28 वजा करा.

$$6x=-29$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=-\frac{29}{6}$$

y=-x-7 मध्ये x साठी -\frac{29}{6} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-\frac{29}{6} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

-7 ते \frac{29}{6} जोडा.

$$y=-\frac{13}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित केले नसल्याने चल y हे -5,0 च्या कोणत्याही मूल्यांच्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा y\left(y+5\right) ने गुणाकार करा, y+5,y चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 ला x+7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

दोन्ही बाजूंकडून yx वजा करा.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 मिळविण्यासाठी yx आणि -yx एकत्र करा.

$$2y=7y+5x+35$$

दोन्ही बाजूंकडून 7y वजा करा.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y मिळविण्यासाठी 2y आणि -7y एकत्र करा.

$$-5y=5x+35$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$-5y-5x=35$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. शून्याने भागाकार करणे परिभाषित केले नसल्याने चल y हे -5,0 च्या कोणत्याही मूल्यांच्या समान असता कामा नये. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा y\left(y+5\right) ने गुणाकार करा, y+5,y चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y ला x+2 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 ला x+7 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

दोन्ही बाजूंकडून yx वजा करा.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 मिळविण्यासाठी yx आणि -yx एकत्र करा.

$$2y=7y+5x+35$$

दोन्ही बाजूंकडून 7y वजा करा.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y मिळविण्यासाठी 2y आणि -7y एकत्र करा.

$$-5y=5x+35$$

दोन्ही बाजूंकडून 5x वजा करा.

$$-5y-5x=35$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y आणि -4y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -5 ने गुणाकार करा.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

सरलीकृत करा.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20y+20x=-140 मधून 20y-10x=5 वजा करा.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

20y ते -20y जोडा. 20y आणि -20y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$20x+10x=-140-5$$

20x ते 10x जोडा.

$$30x=-140-5$$

-140 ते -5 जोडा.

$$30x=-145$$

दोन्ही बाजूंना 30 ने विभागा.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-4y+2x=-1 मध्ये x साठी -\frac{29}{6} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

-\frac{29}{6} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{29}{3} जोडा.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -4 ने विभागा.

$$y=-\frac{13}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$