{c}{x=2y}{5y=3x+1} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { x = 2 y } \\ { 5 y = 3 x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-2$$

$$y=-1$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$5y-3x=1$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$x-2y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$x=2y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी 2y चा विकल्प वापरा, -3x+5y=1.

$$-3\times 2y+5y=1$$

2y ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-6y+5y=1$$

-6y ते 5y जोडा.

$$-y=1$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=-1$$

x=2y मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2\left(-1\right)$$

-1 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=-1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$5y-3x=1$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-2\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-2,y=-1$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$x-2y=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3x वजा करा.

$$5y-3x=1$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने गुणाकार करा.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+5y=1$$

सरलीकृत करा.

$$-3x+6y=0,-3x+5y=1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -3x+6y=0 मधून -3x+5y=1 वजा करा.

$$-3x+3x+6y-5y=-1$$

-3x ते 3x जोडा. -3x आणि 3x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-5y=-1$$

6y ते -5y जोडा.

$$y=-1$$

-3x+5y=1 मध्ये y साठी -1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x+5\left(-1\right)=1$$

-1 ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x-5=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5 जोडा.

$$-3x=6$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=-2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-2,y=-1$$