{c}{5x-y=-1}{3x+2y=11} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x - y = - 1 } \\ { 3 x + 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y = \frac{58}{13} = 4\frac{6}{13} \approx 4.461538462$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-y=-1,3x+2y=11$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$5x=y-1$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

y-1 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-1+y}{5} चा विकल्प वापरा, 3x+2y=11.

$$3\left(\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+2y=11$$

\frac{-1+y}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}+2y=11$$

\frac{3y}{5} ते 2y जोडा.

$$\frac{13}{5}y-\frac{3}{5}=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{3}{5} जोडा.

$$\frac{13}{5}y=\frac{58}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{13}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{58}{13}$$

x=\frac{1}{5}y-\frac{1}{5} मध्ये y साठी \frac{58}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{58}{13}-\frac{1}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{58}{13} चा \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{58}{65}-\frac{1}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{5} ते \frac{58}{65} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{9}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{9}{13},y=\frac{58}{13}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-y=-1,3x+2y=11$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-1\right)+\frac{1}{13}\times 11\\-\frac{3}{13}\left(-1\right)+\frac{5}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\\frac{58}{13}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{9}{13},y=\frac{58}{13}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-y=-1,3x+2y=11$$

5x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),5\times 3x+5\times 2y=5\times 11$$

सरलीकृत करा.

$$15x-3y=-3,15x+10y=55$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x-3y=-3 मधून 15x+10y=55 वजा करा.

$$15x-15x-3y-10y=-3-55$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y-10y=-3-55$$

-3y ते -10y जोडा.

$$-13y=-3-55$$

-3 ते -55 जोडा.

$$-13y=-58$$

दोन्ही बाजूंना -13 ने विभागा.

$$y=\frac{58}{13}$$

3x+2y=11 मध्ये y साठी \frac{58}{13} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+2\times \frac{58}{13}=11$$

\frac{58}{13} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+\frac{116}{13}=11$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{116}{13} वजा करा.

$$3x=\frac{27}{13}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=\frac{9}{13}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{9}{13},y=\frac{58}{13}$$