{c}{2x+5y=8}{x-3y=3} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 5 y = 8 } \\ { x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{39}{11} = 3\frac{6}{11} \approx 3.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$2x+5y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$2x=-5y+8$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+8\right)$$

-5y+8 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{2}y+4$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{5y}{2}+4 चा विकल्प वापरा, x-3y=3.

$$-\frac{5}{2}y+4-3y=3$$

-\frac{5y}{2} ते -3y जोडा.

$$-\frac{11}{2}y+4=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$-\frac{11}{2}y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{11}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{2}{11}$$

x=-\frac{5}{2}y+4 मध्ये y साठी \frac{2}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{2}{11}+4$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{2}{11} चा -\frac{5}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{5}{11}+4$$

4 ते -\frac{5}{11} जोडा.

$$x=\frac{39}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{2\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-5}&\frac{2}{2\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 8+\frac{5}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{2}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$2x+5y=8,x-3y=3$$

2x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+5y=8,2x+2\left(-3\right)y=2\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$2x+5y=8,2x-6y=6$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2x+5y=8 मधून 2x-6y=6 वजा करा.

$$2x-2x+5y+6y=8-6$$

2x ते -2x जोडा. 2x आणि -2x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5y+6y=8-6$$

5y ते 6y जोडा.

$$11y=8-6$$

8 ते -6 जोडा.

$$11y=2$$

दोन्ही बाजूंना 11 ने विभागा.

$$y=\frac{2}{11}$$

x-3y=3 मध्ये y साठी \frac{2}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x-3\times \frac{2}{11}=3$$

\frac{2}{11} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$x-\frac{6}{11}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{6}{11} जोडा.

$$x=\frac{39}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{39}{11},y=\frac{2}{11}$$