{c}{3-2y/4-1/4=1-2x/6}{25/8-1=frac{x+3}{2}-frac{3(1+y)}{8}} सोडवा

$$\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 3 - 2 y } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 - 2 x } { 6 } } \\ { \frac { 25 } { 8 } - 1 = \frac { x + 3 } { 2 } - \frac { 3 ( 1 + y ) } { 8 } } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=4$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 4,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

3 ला 3-2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

6 मिळविण्यासाठी 9 मधून 3 वजा करा.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

2 ला 1-2x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6-6y=2-4x$$

दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$6-6y+4x=2$$

दोन्ही बाजूंकडून 6 वजा करा.

$$-6y+4x=2-6$$

-4 मिळविण्यासाठी 2 मधून 6 वजा करा.

$$-6y+4x=-4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 8 ने गुणाकार करा, 8,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

17 मिळविण्यासाठी 25 मधून 8 वजा करा.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

4 ला x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

-3 ला 1+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$17=4x+12-3-3y$$

9 मिळविण्यासाठी 12 मधून 3 वजा करा.

$$17=4x+9-3y$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$4x+9-3y=17$$

दोन्ही बाजूंकडून 9 वजा करा.

$$4x-3y=17-9$$

8 मिळविण्यासाठी 17 मधून 9 वजा करा.

$$4x-3y=8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$-6y+4x=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4x वजा करा.

$$-6y=-4x-4$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-4x-4\right)$$

-4x-4 ला -\frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{2+2x}{3} चा विकल्प वापरा, -3y+4x=8.

$$-3\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)+4x=8$$

\frac{2+2x}{3} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x-2+4x=8$$

-2x ते 4x जोडा.

$$2x-2=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$2x=10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=5$$

y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3} मध्ये x साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

5 ला \frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{10+2}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{3} ते \frac{10}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 4,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

3 ला 3-2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

6 मिळविण्यासाठी 9 मधून 3 वजा करा.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

2 ला 1-2x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6-6y=2-4x$$

दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$6-6y+4x=2$$

दोन्ही बाजूंकडून 6 वजा करा.

$$-6y+4x=2-6$$

-4 मिळविण्यासाठी 2 मधून 6 वजा करा.

$$-6y+4x=-4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 8 ने गुणाकार करा, 8,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

17 मिळविण्यासाठी 25 मधून 8 वजा करा.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

4 ला x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

-3 ला 1+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$17=4x+12-3-3y$$

9 मिळविण्यासाठी 12 मधून 3 वजा करा.

$$17=4x+9-3y$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$4x+9-3y=17$$

दोन्ही बाजूंकडून 9 वजा करा.

$$4x-3y=17-9$$

8 मिळविण्यासाठी 17 मधून 9 वजा करा.

$$4x-3y=8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=4,x=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 12 ने गुणाकार करा, 4,6 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

3 ला 3-2y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

6 मिळविण्यासाठी 9 मधून 3 वजा करा.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

2 ला 1-2x ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$6-6y=2-4x$$

दोन्ही बाजूंना 4x जोडा.

$$6-6y+4x=2$$

दोन्ही बाजूंकडून 6 वजा करा.

$$-6y+4x=2-6$$

-4 मिळविण्यासाठी 2 मधून 6 वजा करा.

$$-6y+4x=-4$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचा 8 ने गुणाकार करा, 8,2 चा लघुत्तम साधारण विभाजक.

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

17 मिळविण्यासाठी 25 मधून 8 वजा करा.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

4 ला x+3 ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

-3 ला 1+y ने गुणण्यासाठी वितरीत करण्‍यायोग्‍य गुणधर्म वापरा.

$$17=4x+12-3-3y$$

9 मिळविण्यासाठी 12 मधून 3 वजा करा.

$$17=4x+9-3y$$

बाजू स्वॅप करा ज्यामुळे सर्व चल टर्म डाव्या बाजूला असतील.

$$4x+9-3y=17$$

दोन्ही बाजूंकडून 9 वजा करा.

$$4x-3y=17-9$$

8 मिळविण्यासाठी 17 मधून 9 वजा करा.

$$4x-3y=8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -6y+4x=-4 मधून -3y+4x=8 वजा करा.

$$-6y+3y+4x-4x=-4-8$$

4x ते -4x जोडा. 4x आणि -4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6y+3y=-4-8$$

-6y ते 3y जोडा.

$$-3y=-4-8$$

-4 ते -8 जोडा.

$$-3y=-12$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=4$$

-3y+4x=8 मध्ये y साठी 4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3\times 4+4x=8$$

4 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-12+4x=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 12 जोडा.

$$4x=20$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=4,x=5$$