xu+yv=1,quadx+y+u+v=0 സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x u + y v = 1 , \quad x + y + u + v = 0$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}$$

$$y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$

$$u\neq v$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$ux+vy=1$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും vy കുറയ്ക്കുക.

$$ux=\left(-v\right)y+1$$

ഇരുവശങ്ങളെയും u കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{u}\left(\left(-v\right)y+1\right)$$

\frac{1}{u}, -vy+1 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}$$

x+y+u+v=0 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{-vy+1}{u} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}+y+u+v=0$$

-\frac{vy}{u}, y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{u-v}{u}y+\frac{1}{u}+u+v=0$$

\frac{1}{u}, u+v എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{u-v}{u}y+u+v+\frac{1}{u}=0$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും v+u+\frac{1}{u} കുറയ്ക്കുക.

$$\frac{u-v}{u}y=-u-v-\frac{1}{u}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും \frac{u-v}{u} കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

x=\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി -\frac{1+vu+u^{2}}{u-v} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\left(-\frac{v}{u}\right)\left(-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}\right)+\frac{1}{u}$$

-\frac{v}{u}, -\frac{1+vu+u^{2}}{u-v} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{v\left(u^{2}+uv+1\right)}{u\left(u-v\right)}+\frac{1}{u}$$

\frac{1}{u}, \frac{v\left(1+vu+u^{2}\right)}{u\left(u-v\right)} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v},y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{u-v}&-\frac{v}{u-v}\\-\frac{1}{u-v}&\frac{u}{u-v}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{u-v}+\left(-\frac{v}{u-v}\right)\left(-\left(u+v\right)\right)\\-\frac{1}{u-v}+\frac{u}{u-v}\left(-\left(u+v\right)\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{uv+v^{2}+1}{u-v}\\-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v},y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

ux, x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 1 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും u കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$ux+vy=1,ux+uy+u\left(u+v\right)=0$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് ux+vy=1 എന്നതിൽ നിന്ന് ux+uy+u\left(u+v\right)=0 കുറയ്ക്കുക.

$$ux+\left(-u\right)x+vy+\left(-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

ux, -ux എന്നതിൽ ചേർക്കുക. ux, -ux എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$vy+\left(-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

vy, -uy എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\left(v-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും u\left(u+v\right) ചേർക്കുക.

$$\left(v-u\right)y=u\left(u+v\right)+1$$

ഇരുവശങ്ങളെയും v-u കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$

x+y+u+v=0 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{1+u^{2}+uv}{v-u} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x+\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}+u+v=0$$

\frac{1+u^{2}+uv}{v-u}, u+v എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x+\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}=0$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{v^{2}+vu+1}{v-u} കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u},y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$