11x^2-31x-6=0 സോൾവ് ചെയ്യുക

$$11 x ^ { 2 } - 31 x - 6 = 0$$

x എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-\frac{2}{11}\approx -0.181818182$$

$$x=3$$

ഗ്രൂപ്പുചെയ്‌തുകൊണ്ടുള്ള ഫാക്‌ടർ ചെയ്യൽ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നതിലൂടെ ഇടതുഭാഗം ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുക. ആദ്യം, ഇടതുഭാഗം 11x^{2}+ax+bx-6 എന്നായി പുനരാലേഖനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. a, b എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ, ഒരു സിസ്റ്റം സോൾവ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

$$a+b=-31 ab=11\left(-6\right)=-66$$

ab നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ a, b എന്നിവയ്‌ക്ക് വിപരീത ചിഹ്നമുണ്ടായിരിക്കും. a+b നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്‌ക്ക് പോസിറ്റീവിനേക്കാൾ ഉയർന്ന കേവലമൂല്യമുണ്ടായിരിക്കും. -66 എന്ന ഗുണനഫലം നൽകുന്ന അത്തരം പൂർണ്ണസാംഖ്യാ ജോടികളെല്ലാം ലിസ്റ്റുചെയ്യുക.

$$1,-66 2,-33 3,-22 6,-11$$

ഓരോ ജോടിക്കുമുള്ള ആകെത്തുക കണക്കാക്കുക.

$$1-66=-65 2-33=-31 3-22=-19 6-11=-5$$

സൊല്യൂഷൻ എന്നത് -31 എന്ന ആകെത്തുക നൽകുന്ന ജോടിയാണ്.

$$a=-33 b=2$$

11x^{2}-31x-6 എന്നത് \left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right) എന്നായി തിരുത്തിയെഴുതുക.

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(2x-6\right)$$

ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിലെ 11x എന്നതും രണ്ടാമത്തേതിലെ 2 എന്നതും ഘടക ലഘൂകരണം ചെയ്യുക.

$$11x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിച്ച് x-3 എന്ന പൊതുപദം ഘടക ലഘൂകരണം ചെയ്യുക.

$$\left(x-3\right)\left(11x+2\right)$$

സമവാക്യ സൊല്യൂഷനുകൾ കണ്ടെത്താൻ x-3=0, 11x+2=0 എന്നിവ സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ax^{2}+bx+c=0 എന്ന രൂപത്തിലുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യം രണ്ട് സൊല്യൂഷനുകൾ നൽകുന്നു, ഒന്ന് ± സങ്കലനമായിരിക്കുമ്പോഴും മറ്റൊന്ന് അത് വ്യവകലനമായിരിക്കുമ്പോഴും.

$$11x^{2}-31x-6=0$$

ഈ സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിലാണുള്ളത്: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} എന്ന ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യത്തിൽ a എന്നതിനായി 11 എന്നതും b എന്നതിനായി -31 എന്നതും c എന്നതിനായി -6 എന്നതും സബ്‌സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

-31 സ്ക്വയർ ചെയ്യുക.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 11\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

-4, 11 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-44\left(-6\right)}}{2\times 11}$$

-44, -6 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+264}}{2\times 11}$$

961, 264 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1225}}{2\times 11}$$

1225 എന്നതിന്‍റെ വർഗ്ഗമൂലം എടുക്കുക.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±35}{2\times 11}$$

-31 എന്നതിന്‍റെ വിപരീതം 31 ആണ്.

$$x=\frac{31±35}{2\times 11}$$

2, 11 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{31±35}{22}$$

ഇപ്പോൾ ± എന്നത് അധിക ചിഹ്‌നമാകുമ്പോൾ, x=\frac{31±35}{22} എന്ന സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യുക. 31, 35 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=\frac{66}{22}$$

22 കൊണ്ട് 66 എന്നതിനെ ഹരിക്കുക.

$$x=3$$

ഇപ്പോൾ ± എന്നത് വ്യവകലന ചിഹ്‌നമാകുമ്പോൾ, x=\frac{31±35}{22} എന്ന സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യുക. 31 എന്നതിൽ നിന്ന് 35 വ്യവകലനം ചെയ്യുക.

$$x=-\frac{4}{22}$$

2 എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്ത് റദ്ദാക്കുന്നതിലൂടെ, \frac{-4}{22} എന്ന അംശത്തെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ടേമുകളിലേക്ക് കുറയ്‌ക്കുക.

$$x=-\frac{2}{11}$$

സമവാക്യം ഇപ്പോൾ സോൾവ് ചെയ്‌തു.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$

സ്‌ക്വയർ പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ഇതുപോലുള്ള ക്വാഡ്രാട്ടിക് സമവാക്യങ്ങൾ സ്‌ക്വയർ പൂർത്തിയാക്കുന്നതിലൂടെ സോൾവ് ചെയ്യാനായേക്കാം. സ്‌ക്വയർ പൂർത്തിയാക്കാൻ, ആദ്യം സമവാക്യം x^{2}+bx=c എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കണം.

$$11x^{2}-31x-6=0$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 6 ചേർക്കുക.

$$11x^{2}-31x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

അതിൽ നിന്നുതന്നെ -6 കുറയ്ക്കുന്നത് 0 നൽകുന്നു.

$$11x^{2}-31x=-\left(-6\right)$$

0 എന്നതിൽ നിന്ന് -6 വ്യവകലനം ചെയ്യുക.

$$11x^{2}-31x=6$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$\frac{11x^{2}-31x}{11}=\frac{6}{11}$$

11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത്, 11 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനെ നിഷ്‌ഫലമാക്കുന്നു.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x=\frac{6}{11}$$

-\frac{31}{22} നേടാൻ x എന്നതിന്‍റെ കോഎഫിഷ്യന്‍റ് പദമായ -\frac{31}{11}-നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. തുടർന്ന്, സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുഭാഗത്തും -\frac{31}{22} എന്നതിന്‍റെ സ്‌ക്വയർ ചേർക്കുക. ഈ ഘട്ടം സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തെ കുറ്റമറ്റ സ്‌ക്വയറാക്കി മാറ്റുന്നു.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{6}{11}+\left(-\frac{31}{22}\right)^{2}$$

അംശത്തിന്‍റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയും സ്ക്വയർ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ -\frac{31}{22} സ്ക്വയർ ചെയ്യുക.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{6}{11}+\frac{961}{484}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{6}{11} എന്നത് \frac{961}{484} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484}=\frac{1225}{484}$$

x^{2}-\frac{31}{11}x+\frac{961}{484} ഘടകമാക്കുക. പൊതുവേ, x^{2}+bx+c ഒരു പെർഫക്‌റ്റ് സ്‌ക്വയറാണെങ്കില്‍, ഇത് എപ്പോഴും \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} എന്ന് ഘടകമാക്കാം.

$$\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}=\frac{1225}{484}$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും വർഗ്ഗമൂലം എടുക്കുക.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{22}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{484}}$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$x-\frac{31}{22}=\frac{35}{22} x-\frac{31}{22}=-\frac{35}{22}$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{31}{22} ചേർക്കുക.

$$x=3 x=-\frac{2}{11}$$