10k^2+9k-1=0 സോൾവ് ചെയ്യുക

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

k എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

ഗ്രൂപ്പുചെയ്‌തുകൊണ്ടുള്ള ഫാക്‌ടർ ചെയ്യൽ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നതിലൂടെ ഇടതുഭാഗം ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുക. ആദ്യം, ഇടതുഭാഗം 10k^{2}+ak+bk-1 എന്നായി പുനരാലേഖനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. a, b എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ, ഒരു സിസ്റ്റം സോൾവ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

ab നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ a, b എന്നിവയ്‌ക്ക് വിപരീത ചിഹ്നമുണ്ടായിരിക്കും. a+b പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്‌ക്ക് നെഗറ്റീവിനേക്കാൾ ഉയർന്ന കേവലമൂല്യമുണ്ടായിരിക്കും. -10 എന്ന ഗുണനഫലം നൽകുന്ന അത്തരം പൂർണ്ണസാംഖ്യാ ജോടികളെല്ലാം ലിസ്റ്റുചെയ്യുക.

$$-1,10 -2,5$$

ഓരോ ജോടിക്കുമുള്ള ആകെത്തുക കണക്കാക്കുക.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

സൊല്യൂഷൻ എന്നത് 9 എന്ന ആകെത്തുക നൽകുന്ന ജോടിയാണ്.

$$a=-1 b=10$$

10k^{2}+9k-1 എന്നത് \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right) എന്നായി തിരുത്തിയെഴുതുക.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

10k^{2}-k എന്നതിൽ k ഘടക ലഘൂകരണം ചെയ്യുക.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിച്ച് 10k-1 എന്ന പൊതുപദം ഘടക ലഘൂകരണം ചെയ്യുക.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

സമവാക്യ സൊല്യൂഷനുകൾ കണ്ടെത്താൻ 10k-1=0, k+1=0 എന്നിവ സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ax^{2}+bx+c=0 എന്ന രൂപത്തിലുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യം രണ്ട് സൊല്യൂഷനുകൾ നൽകുന്നു, ഒന്ന് ± സങ്കലനമായിരിക്കുമ്പോഴും മറ്റൊന്ന് അത് വ്യവകലനമായിരിക്കുമ്പോഴും.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

ഈ സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിലാണുള്ളത്: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} എന്ന ക്വാഡ്രാട്ടിക് സൂത്രവാക്യത്തിൽ a എന്നതിനായി 10 എന്നതും b എന്നതിനായി 9 എന്നതും c എന്നതിനായി -1 എന്നതും സബ്‌സ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

9 സ്ക്വയർ ചെയ്യുക.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-4, 10 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-40, -1 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

81, 40 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

121 എന്നതിന്‍റെ വർഗ്ഗമൂലം എടുക്കുക.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

2, 10 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

ഇപ്പോൾ ± എന്നത് അധിക ചിഹ്‌നമാകുമ്പോൾ, k=\frac{-9±11}{20} എന്ന സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യുക. -9, 11 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$k=\frac{2}{20}$$

2 എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്ത് റദ്ദാക്കുന്നതിലൂടെ, \frac{2}{20} എന്ന അംശത്തെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ടേമുകളിലേക്ക് കുറയ്‌ക്കുക.

$$k=\frac{1}{10}$$

ഇപ്പോൾ ± എന്നത് വ്യവകലന ചിഹ്‌നമാകുമ്പോൾ, k=\frac{-9±11}{20} എന്ന സമവാക്യം സോൾവ് ചെയ്യുക. -9 എന്നതിൽ നിന്ന് 11 വ്യവകലനം ചെയ്യുക.

$$k=-\frac{20}{20}$$

20 കൊണ്ട് -20 എന്നതിനെ ഹരിക്കുക.

$$k=-1$$

സമവാക്യം ഇപ്പോൾ സോൾവ് ചെയ്‌തു.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

സ്‌ക്വയർ പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ഇതുപോലുള്ള ക്വാഡ്രാട്ടിക് സമവാക്യങ്ങൾ സ്‌ക്വയർ പൂർത്തിയാക്കുന്നതിലൂടെ സോൾവ് ചെയ്യാനായേക്കാം. സ്‌ക്വയർ പൂർത്തിയാക്കാൻ, ആദ്യം സമവാക്യം x^{2}+bx=c എന്ന രൂപത്തിലായിരിക്കണം.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 1 ചേർക്കുക.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

അതിൽ നിന്നുതന്നെ -1 കുറയ്ക്കുന്നത് 0 നൽകുന്നു.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

0 എന്നതിൽ നിന്ന് -1 വ്യവകലനം ചെയ്യുക.

$$10k^{2}+9k=1$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത്, 10 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനെ നിഷ്‌ഫലമാക്കുന്നു.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

\frac{9}{20} നേടാൻ x എന്നതിന്‍റെ കോഎഫിഷ്യന്‍റ് പദമായ \frac{9}{10}-നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. തുടർന്ന്, സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുഭാഗത്തും \frac{9}{20} എന്നതിന്‍റെ സ്‌ക്വയർ ചേർക്കുക. ഈ ഘട്ടം സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തെ കുറ്റമറ്റ സ്‌ക്വയറാക്കി മാറ്റുന്നു.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

അംശത്തിന്‍റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയും സ്ക്വയർ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ \frac{9}{20} സ്ക്വയർ ചെയ്യുക.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{1}{10} എന്നത് \frac{81}{400} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400} ഘടകമാക്കുക. പൊതുവേ, x^{2}+bx+c ഒരു പെർഫക്‌റ്റ് സ്‌ക്വയറാണെങ്കില്‍, ഇത് എപ്പോഴും \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} എന്ന് ഘടകമാക്കാം.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും വർഗ്ഗമൂലം എടുക്കുക.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{9}{20} കുറയ്ക്കുക.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$