{l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=5$$

$$y=17$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, y എന്ന വേരിയബിൾ -1 എന്നതിന് തുല്യമാക്കാനാകില്ല. y+1,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 3\left(y+1\right) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

x+1 കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+3=y+1$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$3x+3-y=1$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-y=1-3$$

-2 നേടാൻ 1 എന്നതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-y=-2$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, y എന്ന വേരിയബിൾ 1 എന്നതിന് തുല്യമാക്കാനാകില്ല. y-1,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 4\left(y-1\right) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

x-1 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x-4=y-1$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$4x-4-y=-1$$

4 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$4x-y=-1+4$$

3 ലഭ്യമാക്കാൻ -1, 4 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$4x-y=3$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$3x-y=-2$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും y ചേർക്കുക.

$$3x=y-2$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

\frac{1}{3}, y-2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

4x-y=3 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{-2+y}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

4, \frac{-2+y}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

\frac{4y}{3}, -y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{8}{3} ചേർക്കുക.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$$y=17$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 17 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

\frac{1}{3}, 17 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ -\frac{2}{3} എന്നത് \frac{17}{3} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=5$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=5,y=17$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, y എന്ന വേരിയബിൾ -1 എന്നതിന് തുല്യമാക്കാനാകില്ല. y+1,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 3\left(y+1\right) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

x+1 കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+3=y+1$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$3x+3-y=1$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-y=1-3$$

-2 നേടാൻ 1 എന്നതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-y=-2$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, y എന്ന വേരിയബിൾ 1 എന്നതിന് തുല്യമാക്കാനാകില്ല. y-1,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 4\left(y-1\right) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

x-1 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x-4=y-1$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$4x-4-y=-1$$

4 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$4x-y=-1+4$$

3 ലഭ്യമാക്കാൻ -1, 4 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$4x-y=3$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=5,y=17$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, y എന്ന വേരിയബിൾ -1 എന്നതിന് തുല്യമാക്കാനാകില്ല. y+1,3 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 3\left(y+1\right) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

x+1 കൊണ്ട് 3 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+3=y+1$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$3x+3-y=1$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-y=1-3$$

-2 നേടാൻ 1 എന്നതിൽ നിന്ന് 3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-y=-2$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഹരണം നിർവ്വചിക്കാത്തതിനാൽ, y എന്ന വേരിയബിൾ 1 എന്നതിന് തുല്യമാക്കാനാകില്ല. y-1,4 എന്നതിന്‍റെ ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതമായ 4\left(y-1\right) ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുക.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

x-1 കൊണ്ട് 4 ഗുണിക്കാൻ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ടീവ് ഗുണവിശേഷത ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x-4=y-1$$

ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$4x-4-y=-1$$

4 ഇരു വശങ്ങളിലും ചേർക്കുക.

$$4x-y=-1+4$$

3 ലഭ്യമാക്കാൻ -1, 4 എന്നിവ ചേർക്കുക.

$$4x-y=3$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 3x-y=-2 എന്നതിൽ നിന്ന് 4x-y=3 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

-y, y എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -y, y എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$3x-4x=-2-3$$

3x, -4x എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-x=-2-3$$

-2, -3 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-x=-5$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -1 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=5$$

4x-y=3 എന്നതിലെ x എന്നതിനായി 5 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് y എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$4\times 5-y=3$$

4, 5 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$20-y=3$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 20 കുറയ്ക്കുക.

$$-y=-17$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -1 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=17$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=5,y=17$$