{r}{x+4y=900}{3x-4y=300} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 900 } \\ { 3 x - 4 y = 300 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=300$$

$$y=150$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$x+4y=900,3x-4y=300$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$x+4y=900$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 4y കുറയ്ക്കുക.

$$x=-4y+900$$

3x-4y=300 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി -4y+900 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3\left(-4y+900\right)-4y=300$$

3, -4y+900 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-12y+2700-4y=300$$

-12y, -4y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-16y+2700=300$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2700 കുറയ്ക്കുക.

$$-16y=-2400$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -16 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=150$$

x=-4y+900 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 150 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-4\times 150+900$$

-4, 150 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-600+900$$

900, -600 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$x=300$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=300,y=150$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$x+4y=900,3x-4y=300$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-4\times 3}&-\frac{4}{-4-4\times 3}\\-\frac{3}{-4-4\times 3}&\frac{1}{-4-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}900\\300\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 900+\frac{1}{4}\times 300\\\frac{3}{16}\times 900-\frac{1}{16}\times 300\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\150\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=300,y=150$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$x+4y=900,3x-4y=300$$

x, 3x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 3 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 1 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$3x+3\times 4y=3\times 900,3x-4y=300$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$3x+12y=2700,3x-4y=300$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 3x+12y=2700 എന്നതിൽ നിന്ന് 3x-4y=300 കുറയ്ക്കുക.

$$3x-3x+12y+4y=2700-300$$

3x, -3x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 3x, -3x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$12y+4y=2700-300$$

12y, 4y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$16y=2700-300$$

2700, -300 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$16y=2400$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 16 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=150$$

3x-4y=300 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 150 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$3x-4\times 150=300$$

-4, 150 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$3x-600=300$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 600 ചേർക്കുക.

$$3x=900$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=300$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=300,y=150$$