{l}{p+2q=4}{-3p+4q=18} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

p, q എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$p=-2$$

$$q=3$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള p മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് p എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$p+2q=4$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 2q കുറയ്ക്കുക.

$$p=-2q+4$$

-3p+4q=18 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ p എന്നതിനായി -2q+4 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

-3, -2q+4 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$6q-12+4q=18$$

6q, 4q എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$10q-12=18$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 12 ചേർക്കുക.

$$10q=30$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$q=3$$

p=-2q+4 എന്നതിലെ q എന്നതിനായി 3 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് p എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$p=-2\times 3+4$$

-2, 3 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$p=-6+4$$

4, -6 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$p=-2$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$p=-2,q=3$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

p, q എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$p=-2,q=3$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

p, -3p എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -3 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 1 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -3p-6q=-12 എന്നതിൽ നിന്ന് -3p+4q=18 കുറയ്ക്കുക.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

-3p, 3p എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -3p, 3p എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$-6q-4q=-12-18$$

-6q, -4q എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-10q=-12-18$$

-12, -18 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-10q=-30$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -10 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$q=3$$

-3p+4q=18 എന്നതിലെ q എന്നതിനായി 3 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് p എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-3p+4\times 3=18$$

4, 3 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-3p+12=18$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 12 കുറയ്ക്കുക.

$$-3p=6$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$p=-2$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$p=-2,q=3$$