{l}{a+b=3}{5a+9b=1} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 3 } \\ { 5 a + 9 b = 1 } \end{array} \right.$$

a, b എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$a = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

$$b = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$a+b=3,5a+9b=1$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള a മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് a എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$a+b=3$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും b കുറയ്ക്കുക.

$$a=-b+3$$

5a+9b=1 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ a എന്നതിനായി -b+3 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$5\left(-b+3\right)+9b=1$$

5, -b+3 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-5b+15+9b=1$$

-5b, 9b എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$4b+15=1$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 15 കുറയ്ക്കുക.

$$4b=-14$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$b=-\frac{7}{2}$$

a=-b+3 എന്നതിലെ b എന്നതിനായി -\frac{7}{2} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് a എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$a=-\left(-\frac{7}{2}\right)+3$$

-1, -\frac{7}{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$a=\frac{7}{2}+3$$

3, \frac{7}{2} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$a=\frac{13}{2}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$a=\frac{13}{2},b=-\frac{7}{2}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$a+b=3,5a+9b=1$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9-5}&-\frac{1}{9-5}\\-\frac{5}{9-5}&\frac{1}{9-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\times 3-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{4}\times 3+\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

a, b എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$a=\frac{13}{2},b=-\frac{7}{2}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$a+b=3,5a+9b=1$$

a, 5a എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 5 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 1 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$5a+5b=5\times 3,5a+9b=1$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$5a+5b=15,5a+9b=1$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 5a+5b=15 എന്നതിൽ നിന്ന് 5a+9b=1 കുറയ്ക്കുക.

$$5a-5a+5b-9b=15-1$$

5a, -5a എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 5a, -5a എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$5b-9b=15-1$$

5b, -9b എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-4b=15-1$$

15, -1 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-4b=14$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$b=-\frac{7}{2}$$

5a+9b=1 എന്നതിലെ b എന്നതിനായി -\frac{7}{2} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് a എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$5a+9\left(-\frac{7}{2}\right)=1$$

9, -\frac{7}{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$5a-\frac{63}{2}=1$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{63}{2} ചേർക്കുക.

$$5a=\frac{65}{2}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$a=\frac{13}{2}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$a=\frac{13}{2},b=-\frac{7}{2}$$