{l}{P_{1}=1/2+1/6P_{4}}{P_{4}=5/6+1/6P_{1}} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { P _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 6 } P _ { 4 } } \\ { P _ { 4 } = \frac { 5 } { 6 } + \frac { 1 } { 6 } P _ { 1 } } \end{array} \right.$$

P_1, P_4 എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$P_{1}=\frac{23}{35}\approx 0.657142857$$

$$P_{4}=\frac{33}{35}\approx 0.942857143$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{1}{6}P_{4} കുറയ്ക്കുക.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2}$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{1}{6}P_{1} കുറയ്ക്കുക.

$$P_{4}-\frac{1}{6}P_{1}=\frac{5}{6}$$

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള P_{1} മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് P_{1} എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2}$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{P_{4}}{6} ചേർക്കുക.

$$P_{1}=\frac{1}{6}P_{4}+\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6} എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ P_{1} എന്നതിനായി \frac{P_{4}}{6}+\frac{1}{2} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-\frac{1}{6}\left(\frac{1}{6}P_{4}+\frac{1}{2}\right)+P_{4}=\frac{5}{6}$$

-\frac{1}{6}, \frac{P_{4}}{6}+\frac{1}{2} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{1}{36}P_{4}-\frac{1}{12}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

-\frac{P_{4}}{36}, P_{4} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{35}{36}P_{4}-\frac{1}{12}=\frac{5}{6}$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{1}{12} ചേർക്കുക.

$$\frac{35}{36}P_{4}=\frac{11}{12}$$

\frac{35}{36} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$P_{4}=\frac{33}{35}$$

P_{1}=\frac{1}{6}P_{4}+\frac{1}{2} എന്നതിലെ P_{4} എന്നതിനായി \frac{33}{35} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് P_{1} എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$P_{1}=\frac{1}{6}\times \frac{33}{35}+\frac{1}{2}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് \frac{1}{6}, \frac{33}{35} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$P_{1}=\frac{11}{70}+\frac{1}{2}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ \frac{1}{2} എന്നത് \frac{11}{70} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$P_{1}=\frac{23}{35}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$P_{1}=\frac{23}{35},P_{4}=\frac{33}{35}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{1}{6}P_{4} കുറയ്ക്കുക.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2}$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{1}{6}P_{1} കുറയ്ക്കുക.

$$P_{4}-\frac{1}{6}P_{1}=\frac{5}{6}$$

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{6}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{6}}{1-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{6}}{1-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{35}&\frac{6}{35}\\\frac{6}{35}&\frac{36}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{36}{35}\times \frac{1}{2}+\frac{6}{35}\times \frac{5}{6}\\\frac{6}{35}\times \frac{1}{2}+\frac{36}{35}\times \frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}P_{1}\\P_{4}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{35}\\\frac{33}{35}\end{matrix}\right)$$

P_{1}, P_{4} എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$P_{1}=\frac{23}{35},P_{4}=\frac{33}{35}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{1}{6}P_{4} കുറയ്ക്കുക.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2}$$

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{1}{6}P_{1} കുറയ്ക്കുക.

$$P_{4}-\frac{1}{6}P_{1}=\frac{5}{6}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$P_{1}-\frac{1}{6}P_{4}=\frac{1}{2},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

P_{1}, -\frac{P_{1}}{6} എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -\frac{1}{6} കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 1 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{1}{6}P_{1}-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{6}\right)P_{4}=-\frac{1}{6}\times \frac{1}{2},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-\frac{1}{6}P_{1}+\frac{1}{36}P_{4}=-\frac{1}{12},-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6}$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -\frac{1}{6}P_{1}+\frac{1}{36}P_{4}=-\frac{1}{12} എന്നതിൽ നിന്ന് -\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6} കുറയ്ക്കുക.

$$-\frac{1}{6}P_{1}+\frac{1}{6}P_{1}+\frac{1}{36}P_{4}-P_{4}=-\frac{1}{12}-\frac{5}{6}$$

-\frac{P_{1}}{6}, \frac{P_{1}}{6} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -\frac{P_{1}}{6}, \frac{P_{1}}{6} എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$\frac{1}{36}P_{4}-P_{4}=-\frac{1}{12}-\frac{5}{6}$$

\frac{P_{4}}{36}, -P_{4} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-\frac{35}{36}P_{4}=-\frac{1}{12}-\frac{5}{6}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ -\frac{1}{12} എന്നത് -\frac{5}{6} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$-\frac{35}{36}P_{4}=-\frac{11}{12}$$

-\frac{35}{36} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$P_{4}=\frac{33}{35}$$

-\frac{1}{6}P_{1}+P_{4}=\frac{5}{6} എന്നതിലെ P_{4} എന്നതിനായി \frac{33}{35} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് P_{1} എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-\frac{1}{6}P_{1}+\frac{33}{35}=\frac{5}{6}$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{33}{35} കുറയ്ക്കുക.

$$-\frac{1}{6}P_{1}=-\frac{23}{210}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -6 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

$$P_{1}=\frac{23}{35}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$P_{1}=\frac{23}{35},P_{4}=\frac{33}{35}$$