{l}{5x+y=-1}{11x+4y=-1} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 11 x + 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$5x+y=-1,11x+4y=-1$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$5x+y=-1$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും y കുറയ്ക്കുക.

$$5x=-y-1$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

\frac{1}{5}, -y-1 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

11x+4y=-1 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{-y-1}{5} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$11\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+4y=-1$$

11, \frac{-y-1}{5} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{11}{5}y-\frac{11}{5}+4y=-1$$

-\frac{11y}{5}, 4y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{9}{5}y-\frac{11}{5}=-1$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{11}{5} ചേർക്കുക.

$$\frac{9}{5}y=\frac{6}{5}$$

\frac{9}{5} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{2}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{2}{3}-\frac{1}{5}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് -\frac{1}{5}, \frac{2}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{2}{15}-\frac{1}{5}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ -\frac{1}{5} എന്നത് -\frac{2}{15} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{1}{3}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{2}{3}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$5x+y=-1,11x+4y=-1$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\11&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\11&4\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\11&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\11&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\11&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\11&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\11&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-11}&-\frac{1}{5\times 4-11}\\-\frac{11}{5\times 4-11}&\frac{5}{5\times 4-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{11}{9}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-1\right)-\frac{1}{9}\left(-1\right)\\-\frac{11}{9}\left(-1\right)+\frac{5}{9}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{2}{3}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$5x+y=-1,11x+4y=-1$$

5x, 11x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 11 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 5 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$11\times 5x+11y=11\left(-1\right),5\times 11x+5\times 4y=5\left(-1\right)$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$55x+11y=-11,55x+20y=-5$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 55x+11y=-11 എന്നതിൽ നിന്ന് 55x+20y=-5 കുറയ്ക്കുക.

$$55x-55x+11y-20y=-11+5$$

55x, -55x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 55x, -55x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$11y-20y=-11+5$$

11y, -20y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-9y=-11+5$$

-11, 5 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-9y=-6$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -9 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{2}{3}$$

11x+4y=-1 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{2}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$11x+4\times \frac{2}{3}=-1$$

4, \frac{2}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$11x+\frac{8}{3}=-1$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{8}{3} കുറയ്ക്കുക.

$$11x=-\frac{11}{3}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{1}{3}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{2}{3}$$