{l}{4y+3x=8}{3x-9y=-77} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y + 3 x = 8 } \\ { 3 x - 9 y = - 77 } \end{array} \right.$$

y, x എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x = -\frac{236}{39} = -6\frac{2}{39} \approx -6.051282051$$

$$y = \frac{85}{13} = 6\frac{7}{13} \approx 6.538461538$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള y മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് y എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$4y+3x=8$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 3x കുറയ്ക്കുക.

$$4y=-3x+8$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{1}{4}\left(-3x+8\right)$$

\frac{1}{4}, -3x+8 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$y=-\frac{3}{4}x+2$$

-9y+3x=-77 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ y എന്നതിനായി -\frac{3x}{4}+2 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-9\left(-\frac{3}{4}x+2\right)+3x=-77$$

-9, -\frac{3x}{4}+2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$\frac{27}{4}x-18+3x=-77$$

\frac{27x}{4}, 3x എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{39}{4}x-18=-77$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 18 ചേർക്കുക.

$$\frac{39}{4}x=-59$$

\frac{39}{4} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$x=-\frac{236}{39}$$

y=-\frac{3}{4}x+2 എന്നതിലെ x എന്നതിനായി -\frac{236}{39} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് y എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{236}{39}\right)+2$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് -\frac{3}{4}, -\frac{236}{39} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$y=\frac{59}{13}+2$$

2, \frac{59}{13} എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$y=\frac{85}{13}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-9&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{4\times 3-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{4\times 3-3\left(-9\right)}&\frac{4}{4\times 3-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-77\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 8-\frac{1}{13}\left(-77\right)\\\frac{3}{13}\times 8+\frac{4}{39}\left(-77\right)\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{13}\\-\frac{236}{39}\end{matrix}\right)$$

y, x എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$4y+3x=8,-9y+3x=-77$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 4y+3x=8 എന്നതിൽ നിന്ന് -9y+3x=-77 കുറയ്ക്കുക.

$$4y+9y+3x-3x=8+77$$

3x, -3x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 3x, -3x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$4y+9y=8+77$$

4y, 9y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$13y=8+77$$

8, 77 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$13y=85$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{85}{13}$$

-9y+3x=-77 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{85}{13} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-9\times \frac{85}{13}+3x=-77$$

-9, \frac{85}{13} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{765}{13}+3x=-77$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{765}{13} ചേർക്കുക.

$$3x=-\frac{236}{13}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{236}{39}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$y=\frac{85}{13},x=-\frac{236}{39}$$