{l}{4x-11y=-29}{3y-8x=30} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 11 y = - 29 } \\ { 3 y - 8 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x = -\frac{243}{76} = -3\frac{15}{76} \approx -3.197368421$$

$$y = \frac{28}{19} = 1\frac{9}{19} \approx 1.473684211$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$4x-11y=-29,-8x+3y=30$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$4x-11y=-29$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും 11y ചേർക്കുക.

$$4x=11y-29$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{4}\left(11y-29\right)$$

\frac{1}{4}, 11y-29 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{11}{4}y-\frac{29}{4}$$

-8x+3y=30 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{11y-29}{4} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$-8\left(\frac{11}{4}y-\frac{29}{4}\right)+3y=30$$

-8, \frac{11y-29}{4} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-22y+58+3y=30$$

-22y, 3y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-19y+58=30$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 58 കുറയ്ക്കുക.

$$-19y=-28$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -19 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{28}{19}$$

x=\frac{11}{4}y-\frac{29}{4} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{28}{19} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=\frac{11}{4}\times \frac{28}{19}-\frac{29}{4}$$

ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഭിന്നസംഖ്യാഛേദി കൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യാഛേദിയേയും ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് \frac{11}{4}, \frac{28}{19} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=\frac{77}{19}-\frac{29}{4}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ -\frac{29}{4} എന്നത് \frac{77}{19} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-\frac{243}{76}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{243}{76},y=\frac{28}{19}$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$4x-11y=-29,-8x+3y=30$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}4&-11\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-11\\-8&3\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-11\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-11\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-11\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\30\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-11\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\30\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-11\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-11\left(-8\right)\right)}&-\frac{-11}{4\times 3-\left(-11\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{4\times 3-\left(-11\left(-8\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-11\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\30\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{76}&-\frac{11}{76}\\-\frac{2}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\30\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{76}\left(-29\right)-\frac{11}{76}\times 30\\-\frac{2}{19}\left(-29\right)-\frac{1}{19}\times 30\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{243}{76}\\\frac{28}{19}\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=-\frac{243}{76},y=\frac{28}{19}$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$4x-11y=-29,-8x+3y=30$$

4x, -8x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും -8 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 4 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$-8\times 4x-8\left(-11\right)y=-8\left(-29\right),4\left(-8\right)x+4\times 3y=4\times 30$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$-32x+88y=232,-32x+12y=120$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് -32x+88y=232 എന്നതിൽ നിന്ന് -32x+12y=120 കുറയ്ക്കുക.

$$-32x+32x+88y-12y=232-120$$

-32x, 32x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. -32x, 32x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$88y-12y=232-120$$

88y, -12y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$76y=232-120$$

232, -120 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$76y=112$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 76 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=\frac{28}{19}$$

-8x+3y=30 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി \frac{28}{19} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$-8x+3\times \frac{28}{19}=30$$

3, \frac{28}{19} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-8x+\frac{84}{19}=30$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും \frac{84}{19} കുറയ്ക്കുക.

$$-8x=\frac{486}{19}$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -8 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-\frac{243}{76}$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-\frac{243}{76},y=\frac{28}{19}$$