{l}{3x+5y=-8}{4x+13y=2} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 8 } \\ { 4 x + 13 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$x=-6$$

$$y=2$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള x മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് x എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$3x+5y=-8$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 5y കുറയ്ക്കുക.

$$3x=-5y-8$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-8\right)$$

\frac{1}{3}, -5y-8 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}$$

4x+13y=2 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ x എന്നതിനായി \frac{-5y-8}{3} സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$4\left(-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3}\right)+13y=2$$

4, \frac{-5y-8}{3} എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{20}{3}y-\frac{32}{3}+13y=2$$

-\frac{20y}{3}, 13y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{19}{3}y-\frac{32}{3}=2$$

സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലും \frac{32}{3} ചേർക്കുക.

$$\frac{19}{3}y=\frac{38}{3}$$

\frac{19}{3} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$y=2$$

x=-\frac{5}{3}y-\frac{8}{3} എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 2 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$x=-\frac{5}{3}\times 2-\frac{8}{3}$$

-\frac{5}{3}, 2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$x=\frac{-10-8}{3}$$

ഒരു പൊതുവായ ഭിന്നസംഖ്യാഛേദം കണ്ടെത്തി ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർക്കാൻ -\frac{8}{3} എന്നത് -\frac{10}{3} എന്നതിൽ ചേർക്കുക. തുടർന്ന്, സാധ്യമായത്രയും കുറഞ്ഞ പദങ്ങളിലേക്ക് അംശം കുറയ്ക്കുക.

$$x=-6$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-6,y=2$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3\times 13-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 13-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 13-5\times 4}&\frac{3}{3\times 13-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}&-\frac{5}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{19}\left(-8\right)-\frac{5}{19}\times 2\\-\frac{4}{19}\left(-8\right)+\frac{3}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

x, y എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$x=-6,y=2$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$3x+5y=-8,4x+13y=2$$

3x, 4x എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 4 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 3 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$4\times 3x+4\times 5y=4\left(-8\right),3\times 4x+3\times 13y=3\times 2$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$12x+20y=-32,12x+39y=6$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 12x+20y=-32 എന്നതിൽ നിന്ന് 12x+39y=6 കുറയ്ക്കുക.

$$12x-12x+20y-39y=-32-6$$

12x, -12x എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 12x, -12x എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$20y-39y=-32-6$$

20y, -39y എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-19y=-32-6$$

-32, -6 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-19y=-38$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -19 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$y=2$$

4x+13y=2 എന്നതിലെ y എന്നതിനായി 2 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് x എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$4x+13\times 2=2$$

13, 2 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$4x+26=2$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 26 കുറയ്ക്കുക.

$$4x=-24$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$x=-6$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$x=-6,y=2$$