{l}{25c+22T=152000}{11c+12T=75000} സോൾവ് ചെയ്യുക

$$\left. \begin{array} { l } { 25 c + 22 T = 152000 } \\ { 11 c + 12 T = 75000 } \end{array} \right.$$

c, T എന്നതിനായി സോൾവ് ചെയ്യുക

$$c=3000$$

$$T=3500$$

സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

വ്യവകലനം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജോടി സമവാക്യങ്ങൾ സോൾവ് ചെയ്യാൻ, ആദ്യം വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിനായി സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് സോൾവ് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ആ വേരിയബിളിനുള്ള ഫലം സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കിയെടുത്ത്, സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗത്തുള്ള c മാറ്റിനിർത്തിക്കൊണ്ട് c എന്നതിനായി അത് സോൾവ് ചെയ്യുക.

$$25c+22T=152000$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 22T കുറയ്ക്കുക.

$$25c=-22T+152000$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$c=\frac{1}{25}\left(-22T+152000\right)$$

\frac{1}{25}, -22T+152000 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$c=-\frac{22}{25}T+6080$$

11c+12T=75000 എന്ന മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ c എന്നതിനായി -\frac{22T}{25}+6080 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക.

$$11\left(-\frac{22}{25}T+6080\right)+12T=75000$$

11, -\frac{22T}{25}+6080 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$-\frac{242}{25}T+66880+12T=75000$$

-\frac{242T}{25}, 12T എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$\frac{58}{25}T+66880=75000$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 66880 കുറയ്ക്കുക.

$$\frac{58}{25}T=8120$$

\frac{58}{25} കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിക്കുക, ഇത് അംശത്തിന്‍റെ പരസ്പരപൂരകത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്.

$$T=3500$$

c=-\frac{22}{25}T+6080 എന്നതിലെ T എന്നതിനായി 3500 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് c എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$c=-\frac{22}{25}\times 3500+6080$$

-\frac{22}{25}, 3500 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$c=-3080+6080$$

6080, -3080 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$c=3000$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$c=3000,T=3500$$

മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രൂപത്തിൽ നൽകിയ ശേഷം സമവാക്യ ഘടന സോൾവ് ചെയ്യാനുള്ള മെട്രീസുകൾ ഉപയോഗിക്കുക.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

സമവാക്യങ്ങൾ മെട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതുക.

$$\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right) എന്നതിന്‍റെ വിപരീത മെട്രിക്‌സ് കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇടതുഭാഗം ഗുണിക്കുക.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ഒരു മെട്രിക്‌സിന്‍റെയും അതിന്‍റെ വിപരീതത്തിന്‍റെയും ഗുണനഫലം അനന്യതാ മെട്രിക്‌സ് ആണ്.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

സമചിഹ്നത്തിന് ഇടതുഭാഗത്തുള്ള മെട്രിക്‌സുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&22\\11&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) എന്നതിനുള്ള, വിപരീത മെട്രിക്സ് \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ആണ്, അതിനാൽ മെട്രിക്സ് സമവാക്യം ഒരു മെട്രിക്സ് ഗുണന പ്രശ്നമായി മാറ്റിയെഴുതാവുന്നതാണ്.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{25\times 12-22\times 11}&-\frac{22}{25\times 12-22\times 11}\\-\frac{11}{25\times 12-22\times 11}&\frac{25}{25\times 12-22\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}&-\frac{11}{29}\\-\frac{11}{58}&\frac{25}{58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}152000\\75000\end{matrix}\right)$$

മെട്രീസുകൾ ഗുണിക്കുക.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{29}\times 152000-\frac{11}{29}\times 75000\\-\frac{11}{58}\times 152000+\frac{25}{58}\times 75000\end{matrix}\right)$$

ഗണിതം ചെയ്യുക.

$$\left(\begin{matrix}c\\T\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3000\\3500\end{matrix}\right)$$

c, T എന്നീ മെട്രിക്സ് ഘടകാംശങ്ങൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുക.

$$c=3000,T=3500$$

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ

എലിമിനേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സോൾവ് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളിൽ ഒന്നിന്റെ കോഎഫിഷ്യന്റുകൾ ഇരുസമവാക്യങ്ങളിലും ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കണം, എന്നാൽ മാത്രമേ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിൽ നിന്നും വ്യവകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ വേരിയബിൾ റദ്ദാക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

$$25c+22T=152000,11c+12T=75000$$

25c, 11c എന്നിവ തുല്യമാക്കാൻ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 11 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേതിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലെ എല്ലാ പദങ്ങളെയും 25 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

$$11\times 25c+11\times 22T=11\times 152000,25\times 11c+25\times 12T=25\times 75000$$

ലഘൂകരിക്കുക.

$$275c+242T=1672000,275c+300T=1875000$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള ഒരുപോലുള്ള പദങ്ങൾ കുറച്ച് 275c+242T=1672000 എന്നതിൽ നിന്ന് 275c+300T=1875000 കുറയ്ക്കുക.

$$275c-275c+242T-300T=1672000-1875000$$

275c, -275c എന്നതിൽ ചേർക്കുക. 275c, -275c എന്നീ പദങ്ങൾ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടു, സോൾവ് ചെയ്യാനാകുന്ന ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ള സമവാക്യം നൽകുന്നു.

$$242T-300T=1672000-1875000$$

242T, -300T എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-58T=1672000-1875000$$

1672000, -1875000 എന്നതിൽ ചേർക്കുക.

$$-58T=-203000$$

ഇരുവശങ്ങളെയും -58 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$T=3500$$

11c+12T=75000 എന്നതിലെ T എന്നതിനായി 3500 സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ചെയ്യുക. സംജാതമാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ ഒരേയൊരു വേരിയബിൾ മാത്രമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് c എന്നതിനായി നേരിട്ട് സോൾവ് ചെയ്യാനാകും.

$$11c+12\times 3500=75000$$

12, 3500 എന്നിവ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുക.

$$11c+42000=75000$$

സമചിഹ്നത്തിന്‍റെ ഇരുവശങ്ങളിൽ നിന്നും 42000 കുറയ്ക്കുക.

$$11c=33000$$

ഇരുവശങ്ങളെയും 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

$$c=3000$$

സിസ്റ്റം ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു.

$$c=3000,T=3500$$